Opgaven hoofdstuk 3

Figuur 3.9 Op de maan

In alle onderstaande gevallen verandert iets van plaats. Dat kan door verschillende oorzaken komen. Bedenk steeds of het gaat om een verplaatsing met voorbedachten rade, een toevallige verplaatsing veroorzaakt door iets wat lijkt op windvlagen, door thermische fluctuaties, of door quantumfluctuaties.

In de atmosfeer van de aarde is geen waterstof aanwezig, dat is zo licht dat het in het heelal is verdwenen.
Een brief in een fles spoelt aan op het strand.
De maan heeft geen atmosfeer.
De elektronen in een metaal bewegen ook bij temperatuur 0 kelvin.
Je gaat op bezoek bij je neef in Haarlem.

Figuur 3.10 Gevaarlijke quantumfluctuaties

Uit een brokje uranium komt α-straling. Deze straling bestaat uit heliumkernen: twee protonen en twee neutronen. Deze heliumkernen komen uit de uraniumkernen. Normaal zitten ze daarin opgesloten. Er is een barrière die zorgt dat ze er niet uit gaan. Je wilt met een experiment uitzoeken of thermische fluctuaties de oorzaak er van zijn dat er af en toe wel eentje uit komt, of dat het om quantumfluctuaties gaat, en de heliumkernen door tunneling vrijkomen.

Leg uit met welk experiment je kunt bepalen om welk soort fluctuaties het gaat.
Radium heeft een veel kleinere halfwaardetijd dan uranium. Wat kun je zeggen over de barrière die probeert te voorkomen dat de heliumkernen de moederkern verlaten? Er zijn twee mogelijke verschillen tussen de barrière bij radium en die bij uranium, noem ze allebei.

Figuur 3.11 Energie dankzij tunneling?

In de zon vindt kernfusie plaats. Als protonen dicht genoeg bij elkaar zijn, is de sterke kernkracht de baas en fuseren ze. Maar eerst moeten ze als ze elkaar naderen de elektrische afstoting overwinnen. Daarom vindt kernfusie alleen plaats als de temperatuur en de druk hoog zijn, zodat de kernen genoeg energie hebben om elkaar dicht te naderen. Op het laatst, als de protonen dicht genoeg op elkaar zijn, kan tunneling plaatsvinden.

Leg uit of kernfusie door tunneling makkelijker wordt gemaakt, of moeilijker.

Figuur 3.12 Onregelmatig gevormde metaalkorrel

Het Engelse bedrijf Peratech maakt Quantum Tunneling Composiet materiaal. Het bestaat uit heel veel heel kleine onregelmatige metaalkorrels (zie figuur 3.12), vermengd met isolerend materiaal. Het composietmateriaal als geheel is isolerend, maar als je er op drukt neemt de weerstand snel af (zie figuur 3.13). Daardoor zijn er veel toepassingen mogelijk, bijvoorbeeld in een soort touch screen, ingebouwd in kleding (figuur 3.14).

Figuur 3.13 Weerstand als functie van de drukkracht

Figuur 3.14 Toepassing van Quantum Tunneling

Het materiaal heet Quantum Tunneling Composiet omdat de geleiding plaatsvindt doordat elektronen van metaalkorreltje naar metaalkorreltje tunnelen, door het isolerende tussenlaagje heen.
Hoe snel quantumdeeltjes door een barrière heen tunnelen, hangt van drie grootheden af.

Noem die drie grootheden.
Geef een verklaring voor het afnemen van de weerstand bij grotere druk-kracht.

Ook halfgeleiders zijn eigenlijk isolerend, en zo te beïnvloeden dat ze geleidend worden. Bij een hogere temperatuur geleiden halfgeleiders beter, doordat sterkere thermische fluctuaties extra elektronen over een barrière heen helpen, zodat ze gaan bijdragen aan de geleiding.

Leg uit dat als de geleiding in het materiaal van de firma Peratech echt door tunneling plaatsvindt, je verwacht dat de weerstand niet afhangt van de temperatuur, als er verder niets verandert.

Het blijkt dat de weerstand toch een beetje verandert als de temperatuur stijgt. Anders dan bij halfgeleiders neemt de weerstand toe. Dit komt niet doordat de weerstand van de metaalkorreltjes verandert, het komt doordat er iets aan het tunnelen verandert.

Leg uit wat er aan het tunnelen verandert als de temperatuur toeneemt.

“Ik heb dit geld niet uit de kluis gestolen, het is vanzelf door de kluisdeur naar buiten getunneld.” Leg aan de hand van de formule $T = e^{- 2 d \sqrt{(4 π m / h^{2}) (V - E)}}$ uit dat dit wel erg onwaarschijnlijk is.

“U heeft in de Sarphatistraat 59 km/h gereden, daar krijgt u een bekeuring voor.” “Maar agent, als u wist waar ik was, dan kunt u mijn snelheid helemaal niet bepalen, kent u de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg niet?”

Schat dat de straat ongeveer een kilometer lang is. Zoals de agent het zegt legt hij de positie dus vast met een onbepaaldheid van een kilometer.
Schat de orde van grootte in de onbepaaldheid in de snelheid door te rekenen met de onbepaaldheidsrelatie. Ontloopt de automobilist zijn boete?
Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van de auto tot op één nanometer nauwkeurig is vastgelegd.

Nu krijgt een elektron een boete voor te snel bewegen in de Sarphatistraat.

Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van het elektron tot op één kilometer nauwkeurig is vastgelegd.
Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van het elektron tot op één nanometer nauwkeurig is vastgelegd.
Trek een conclusie over het belang van de onbepaaldheidsrelatie voor voorwerpen van verschillende afmetingen.

Als je naar het proton en het elektron in een waterstofatoom kijkt alsof het kleine balletjes zijn, dan zou je denken dat de laagst mogelijke energie optreedt als het elektron stil op het oppervlak van de kern ligt. Dan zou de kinetische energie nul zijn, en de tegengestelde ladingen zouden zo dicht mogelijk bij elkaar zijn.

Leg uit dat de onbepaaldheidsrelatie laat zien dat deze toestand onmogelijk kan bestaan.

We hebben tot nu toe verschillende quantumverschijnselen gezien: materiedeeltjes vertonen interferentie op de schaal van de de broglie-golflengte, licht bestaat uit fotonen, alles voldoet aan de onbepaaldheidsrelatie, en er is een kans op tunneling.

Leg voor elk van die verschijnselen uit wat er verandert als je een kleiner, lichter deeltje bekijkt.
Leg voor elk van de verschijnselen aan de hand van de formules uit dat ze minder goed merkbaar zouden zijn als de constante van Planck een nog kleinere waarde zou hebben.