Opgaven hoofdstuk 5

Ook lading en licht zijn gequantiseerd, net als energie. En ook in deze twee gevallen zijn de quanta heel klein.  Deze twee berekeningen moeten je daar een gevoel voor geven:
Een wasmachine verbruikt een vermogen van ongeveer twee kilowatt.

  1. Laat met een berekening zien dat er dan een stroomsterkte van ongeveer 9 ampère door de draden loopt.
  2. Bereken hoeveel elektronen er per seconde door de draden lopen.

    3. Een gloeilamp die 60 watt verbruikt, zendt ongeveer 3 watt aan licht uit.

  3. Bereken hoeveel fotonen zichtbaar licht de gloeilamp per seconde uitzendt. Neem voor de frequentie van het licht één waarde in het midden van het zichtbare deel van het spectrum.

We zagen dat de maan in zijn baan geen quantumsysteem is, door de energiesprongen te vergelijken met die in een waterstofatoom. Natuurlijk volgt dit ook uit andere criteria.

  1. Bereken de de broglie-golflengte van de maan in zijn baan.
  2. Met welke afmeting moet je deze vergelijken om te bepalen of interferentieverschijnselen merkbaar zijn?

    3. De maan is geen massa aan een veer. Toch kun je al een schatting maken van de grootte van de quantumsprongen door ΔE=h∙f te gebruiken, met als frequentie de frequentie van de periodieke beweging.

  3. Bereken deze waarde voor de maan en vergelijk je antwoord met de waarde voor ΔE die in de tekst wordt gegeven

De trillingstijd van een schommel reken je uit met T=2π√(l/g).  De totale energie van de trilling bereken je met Ez=m∙g∙h, voor h neem je de maximale hoogte die de schommel bereikt.

  1. Laat met een berekening zien dat de baby in de schommel een energie van ongeveer 20 J krijgt.
  2. Laat met een berekening zien dat het energiequantum van deze beweging  ongeveer 3∙10-34 J groot is.
  3. In de hoeveelste aangeslagen toestand bevindt de baby zich?

    4. Dit is dus geen quantumsysteem, de baby bevindt zich in een heel hoog aangeslagen toestand.
    Baby’s van quantumkabouters schommelen op quantumschommels. We gaan uitrekenen hoe groot een quantumkabouterbaby’tje is. We gaan het hele systeem verkleinen, totdat de toestand van de schommel op de foto overeenkomt met de honderdste aangeslagen toestand. Als de energie in  slechts honderd stapjes toeneemt, dan merk je dat wel, dan ervaar je dat niet als continu.

    De verkleiningsfactor tussen een gewone baby en een quantumkabouterbaby noemen we x.

  4. Met welke factor neemt de massa van de baby af als alle afmetingen met een factor x afnemen?
  5. Met welke factor neemt de maximale hoogte van de schommel af?
  6. Met welke factor neemt de totale energie af?
  7. Met welke factor neemt de frequentie toe?
  8. Met welke factor neemt de energie van een quantumsprong toe?
  9. Met welke factor neemt het aantal quantumsprongen tussen de evenwichtsstand en de toestand van de foto af?
  10. Bereken hoe groot een quantumkabouterbaby is, als je weet dat hij in honderd quantumsprongen vanuit de grondtoestand naar de toestand van de foto gaat.

De factor 1/(n+1)2 -1/n2, die voorkomt in de uitdrukking voor de energie-sprongen van een elektron in een waterstofatoom (en voor de maan rond de aarde), is heel klein voor grote n. We onderzoeken hoe klein.

  1. Bereken wat er uitkomt voor n=10, n=100, n=1000, n=10000,….
  2. Maak de breuken gelijknamig. Laat zien dat er –(2n+1)/n2(n+1)2 uitkomt.
  3. Voor heel grote n mag je in de teller de 1 verwaarlozen, in de noemer ook. Wat krijg je dan?
  4. Hoeveel keer zo klein wordt de uitkomst als n 10 keer zo groot wordt?
  5. Controleer of de in de tekst genoemde factor die hoort bij de quantum-sprongen van de maan past bij de genoemde n van de aangeslagen toestand.
  6. Verschillen in uitkomst als je twee dicht bij elkaar liggende waarden invult, hebben te maken met de afgeleide. Wat is de afgeleide functie van f(x)=1/x2 ? Zie je het verband met vraag c)?

We hebben al in hoofdstuk 2 gezien dat de elektronen in een atoom een quantumsysteem vormen en de moleculen in een gas niet. Toch kan dit onder extreme omstandigheden allebei anders zijn.
We kijken eerst naar een Rydbergatoom, dat is een atoom in een enorm hoog aangeslagen toestand. De straal wordt gegeven door  r=n2∙h 2/(4∙π2∙k∙m∙e2 ). De straal is groot als n heel groot is.

  1. Leg uit dat zulke atomen alleen kunnen voorkomen in ultrahoog vacuüm, bijvoorbeeld in de interstellaire materie.
  2. Leg met behulp van de formule En=-2π2 ∙k2∙m∙e4/(h2∙n2) uit dat de energieniveaus heel dicht op elkaar liggen, rond een heel hoge n.

    3. De de broglie-golflengte is groter voor grote n, maar de afmeting van het atoom neemt sterker toe bij grote n.

  3. Leg uit dat het atoom dan wel als een mini-zonnestelseltje is te beschouwen, in tegenstelling tot een gewoon atoom.

    4. Een gas van natriumatomen kan onder extreme omstandigheden quantum-verschijnselen gaan vertonen: het vormt een zogenaamd Bose-Einstein Condensaat. Dat komt doordat de atomen interferentieverschijnselen gaan vertonen. Dat gebeurt als de de broglie-golflengte groot wordt in verhouding tot de afstand tussen de atomen.

  4. Beredeneer of dit effect optreedt bij heel hoge, of juist bij heel lage temperaturen.

Bij eerdere criteria zagen we dat quantumverschijnselen beter zichtbaar zouden zijn als de waarde van h groter zou zijn. Dat is ook zo als je naar de energieniveaus kijkt.

Leg dit uit voor het geval van een massa die trilt aan een veer.