Hoofdstuk 4. Opgaven

  • Je moet kunnen bepalen met welke tijdstippen een tijdstip gelijktijdig is in verschillende stelsels.
  • Je moet het begrip tijdrek en de formule ervoor kunnen toepassen.
  • Je moet de tweelingparadox kunnen uitleggen

§ 4.1

  1. Teken in figuur 4.9 het punt op de w' - as dat gelijktijdig is met w* volgens de zwarte waarnemers.
  2. Teken in figuur 4.9 het punt op de w' - as dat gelijktijdig is met w volgens de rode waarnemers.
Afbeelding
Figuur 4.9 Wat wijst het rode horloge aan?

§ 4.2

  1. Als je in een snelle raket weg van de aarde vliegt, zou je dan merken dat je polsslag een andere frequentie heeft.
  2. Dat een Aardse waarnemer de tijd in een raket langzamer ziet lopen: is dat schijn of werkelijkheid?
  3. Als een ruimteschip bij de start een lichtsignaal geeft, en daarna gedurende een uur, gemeten op de klok in het ruimteschip, elke zes minuten weer één, hoeveel lichtsignalen zal het dan uitzenden?

    4. De klok van een persoon die ten opzichte van jou beweegt, loopt langzamer, volgens

    w'=w⋅ 1− β 2
  4. Als de klok een knipperlicht heeft, knippert die dan volgens jou met een andere frequentie dan volgens de reiziger in de raket?
  5. Maakt het hierbij uit of zij naar je toe beweegt of van je af?

In het dagelijks leven is van de tijdkrimp niets te merken.

  1. Bereken hoeveel je horloge tijdens een raketreis van 10 uur achter gaat lopen ten opzichte van een klok op aarde, als je reist met een snelheid van 5000 km/h.

Opmerking: tijdens het reizen volg je de kromming van de aarde. Strikt genomen vormen jouw klok en die op de aarde geen inertiaalstelsel. Verwaarloos dit effect bij je berekening. Er is nog een (nieuw) aspect dat je moet verwaarlozen: boven de aarde is het gravitatieveld zwakker dan op aarde. Dit leidt tot een iets sneller lopende klok.

In figuur 4.10 is een zwart en een rood stelsel getekend. Van het zwarte stelsel is het punt w = 1 vermeld.

  1. Bepaal aan de hand van figuur 4.10 de relativistische snelheidsfactor γ.
  2. In figuur 4.10 is een zwart en een rood stelsel getekend. Van het zwarte stelsel is het punt w = 1 vermeld.
  3. Geef met stippen de punten aan met x'-coördinaat x'=0 en w'=1,2,3.
Afbeelding
Figuur 4.10 De rode tijd-as indelen

Muonen zijn op elektronen lijkende, maar instabiele, deeltjes die op ca 20 km hoogte in de atmosfeer ontstaan bij de wisselwerking tussen kosmische straling en (deeltjes in) de atmosfeer.
Zij hebben een halveringstijd van ca. 1,5⋅10-6 s. Dat wil zeggen dat na die tijd van bijvoorbeeld 100 muonen er nog 50 over zijn.

Stel dat de muonen met snelheid 0,995 c naar de aarde bewegen. Eerst nu wat berekeningen, gebruikmakend van de Newtoniaanse ideeën

  1. Bereken dan hoe lang zij over die 20 km doen.
  2. Bereken met je antwoord op vraag a hoeveel halveringstijden zij over die reis doen.
  3. Bereken hoeveel maal zo zwak de muonenstroom op aarde is als op 20 km hoogte.

    4. In werkelijkheid blijkt uit metingen dat de muonenstroom die de aarde bereikt slechts 21x zo zwak is als op 20 km hoogte! Dit is toe te schrijven aan de tijduitrekking. Daarom opnieuw berekeningen, maar nu volgens Einstein.

  4. Bereken, uitgaande van de muonensnelheid van 0,995 c (ten opzichte van de aarde gemeten), hoe groot de relativistische snelheidsfactor γ is.
  5. Bereken met die relativistische snelheidsfactor γ hoe groot de halveringstijd is van deze snel bewegende muonen die een stilstaande Aardse waarnemer meet.
  6. Leg uit dat dit antwoord in overeenstemming is met de afzwakking van de muonenstroom met slechts een factor 22.

Een gedachte-experiment. In een snelbewegende trein bevinden zich twee spiegels boven elkaar, met hun spiegelende vlakken evenwijdig aan de vloer. Een lichtdeeltje (foton) kaatst van spiegel naar spiegel. De regelmaat waarmee de spiegels getroffen worden, kun je opvatten als het tikken van een klok.
Bob en Alice kijken naar die 'klok'. Bob beweegt met de trein mee, Alice staat buiten. De trein beweegt ten opzichte van Alice met snelheid v.

Hieronder de gebeurtenissen, zoals door Bob en Alice waargenomen:

Als het foton van de onderste spiegel naar boven gaat, heeft het in Bob’s stelsel een afstand L0 afgelegd; de tijd die dit volgens Bob in beslag neemt noemen we Δ t Bob .

  1. Leg uit dat AB’ in het stelsel van Alice gelijk is aan v⋅Δ t Alice
  2. Bereken (in formulevorm) de afstand AB in het stelsel van Alice.
  3. Druk de tijdsduren Δ t Bob en Δ t Alice uit in L0, c en v.
  4. Toon aan dat ook in dit gedachte-experiment geldt: Δ t Alice =γ⋅Δ t Bob
Afbeelding
Figuur 4.11a Wat Bob ziet.
Figuur 4.11b Wat Alice ziet.

§ 4.3

De eerder genoemde muonen bevinden zich nu in een grote, cirkelvormige deeltjesversneller. Zij bewegen in een bundel met grote snelheid in een cirkelbaan door een vacuüm gepompte buis.

  1. Vormen de waarnemer in het laboratorium en de muonen een inertiaalstelsel?
  2. Verwacht je dat de waargenomen halveringstijd verschilt van de halveringstijd in een ruststelsel? Licht toe.
  3. Zo ja: neem je een grotere of een kleinere halveringstijd waar?

Op aarde woont een tweeling, Alice en Charlotte. Bob is even oud maar woont op een planeet bij een ver weg gelegen ster. Neem aan dat de aarde en de andere planeet ten opzichte van elkaar in rust zijn. Alice besluit op haar 21e verjaardag bij Bob langs te gaan. Omdat ze niet veel tijd heeft neemt ze een snelle raket. Reizend met snelheid 0,8 c overbrugt zij de afstand van 4 lichtjaar in relatief korte tijd.

  1. Hoe oud is Bob als Alice bij hem arriveert?
  2. Hoe oud is Alice op dat moment?

    3. Na een jaar bij Bob doorgebracht te hebben reist Alice terug.

  3. Hoe oud zijn Alice en Charlotte als zij weer verenigd worden?

    4. Bij vraag B maak je gebruik van w'=w⋅ 1− β 2 . In de 5 jaar reistijd die je verwacht, gebruik makende van de Newtonse wetten, wordt Alice slechts 3 jaar ouder. Het licht doet over de overbrugde afstand 4 jaar.

  4. Is het niet in tegenspraak met het gegeven dat niets sneller dan het licht kan dat een afstand van 4 lichtjaar door Alice in 3 jaar kan worden afgelegd?
  1. Van een tweeling maakt één kind een ruimtereis. Is het mogelijk dat zij terugkeert voordat haar tweelingbroertje werd geboren?
  2. Kunnen ouders die een ruimtereis maken jonger dan hun achtergebleven kinderen zijn als zij naar de aarde zijn teruggekeerd?

§ 4.4

Boven de evenaar draaien op ca. 36000 km hoogte zogenaamde geostationaire satellieten. Die draaien net als wij in één dag een omloop rond de Aardas. De snelheid van die satellieten bedraagt ten opzichte van ons 2,8·103 ms-1, zo nemen we hier aan.

Hoe belangrijk het is om met de relativiteitstheorie te werken blijkt uit de volgende vragen.

  1. Hoe lang is het GPS-signaal, dat met de lichtsnelheid reist, onderweg van satelliet naar ontvanger?

    2. De klok in de satelliet loopt wat ons betreft te langzaam!

  2. Bereken hoe lang 3 Aardse uren duren, als we die aflezen op de satellietklok

    3. Je maakt een reis van 3 uur. Aan het begin daarvan staan jouw ontvangerklok en die van de satelliet nog gelijk. Als je na 3 uur jouw afstand tot de satelliet bepaalt, zonder rekening te houden met het tijdverschil uit vraag b, krijg je een verkeerde waarde.

  3. Hoeveel meter zit die er naast?

De berekende fout in de afstand kan er net voor zorgen dat het navigatiesysteem een straat te vroeg laat afslaan. En als de satellietklokken niet regelmatig gesynchroniseerd zouden worden met die op aarde zou het hele GPS-systeem na een paar dagen onbruikbaar zijn.

Een praktische toepassing van de relativiteitstheorie waarvan de bedenker niet had kunnen dromen!