Synopsis Quantummechanica I

Golfvergelijking

De golffunctie $ψ (x)$ beschrijft deeltjes als een golf. De afleiding van de vergelijking waaraan deze golffunctie moet voldoen is gebaseerd op de volgende veronderstelling:

De meest algemene golffunctie is een superpositie van eenvoudige sinus en cosinus golven met golflengte $λ$ van de vorm:

1.4

\cos (2 π \frac{x}{λ}), sin (2 π \frac{x}{λ})

De vergelijking waaraan deze sinus- en cosinus-functies voldoen, vinden we door twee keer te differentiëren naar $x$ . Dit geeft in het geval van de sinusfunctie:

1.5

\frac{d^{2} \sin (k x)}{d x^{2}} = - k^{2} \sin (k x)

1.6

k : = \frac{2 π}{λ}

De afkorting $k$ is het golfgetal.

Vervanging van de sinus-functie door de cosinus-functie geeft hetzelfde resultaat. Dus algemeen geldt de vergelijking:

1.7

\frac{d^{2} ψ (x)}{d^{2} x} + k^{2} ψ (x) = 0

Deze vergelijking noemt men de golfvergelijking.