Synopsis Quantummechanica I

Schrödingervergelijking

  • De golfvergelijking voor deeltjes is voor het eerst afgeleid door Erwin Schrödinger in 1926.
  • De schrödingervergelijking bevat niet de kracht zoals de tweede wet van Newton, maar de potentiële energie.

In het geval van de quantummechanica beschrijven de staande golven (1.4) deeltjes met een de Broglie golflengte

1.8

λ= h p   ofwel  k=2π p h

Invullen in de golfvergelijking (1.7) geeft:

1.9

d 2 ψ(x) d x 2 + ( 2π h ) 2 p 2 ψ=0

Uit de klassieke mechanica weten we dat voor een conservatief systeem de componenten van de kracht afgeleid kunnen worden van een potentiaalfunctie V(x) ; 

1.10

F x =− dV(x) dx

In dat geval is de totale energie van een deeltje de som van kinetische en potentiële energie:

1.11

E= p 2 2m +V(x)

Oplossen naar p 2 en substitutie in de golfvergelijking (1.9) geeft:

1.12

− h 2 8m π 2 d 2 ψ(x) d x 2 +V(x)ψ=Eψ(x)
  • Dit is de schrödingervergelijking (in één ruimtedimensie en voor tijdonafhankelijke processen) voor een deeltje met massa m in een potentiaal V(x) .