Synopsis Quantummechanica I

Tijdafhankelijke Schrödingervergelijking

  • De tijdontwikkeling van de golffunctie worden beschreven door de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking.
  • De hamiltoniaan bepaalt zowel de energietoestanden van een quantumsysteem als de evolutie in de tijd.

Als generalisatie van (1.20) beschouwen we een tijdafhankelijke harmonische golffunctie van de vorm

1.30

u(x,t):=Aexpi(k⋅x−iω⋅t)

De de Broglie en Einstein relaties (1.1) en (1.2) suggereren dat deze golffunctie geassocieerd kan worden met een deeltje met impuls p=ℏk en energie E=ℏω .

  • Voor p>0 beweegt deze golf in de positieve x-richting.
  • Deze golffunctie is een eigenfunctie van de impulsoperator (1.22), net zoals de golffunctie (1.20).

De actie van de hamiltonoperator (1.19) op de golffunctie (1.30) geeft:

1.31

H ⌢ u(x,t)=[ p 2 2m +V(x) ]u(x,t)

Voor de tijdafgeleide van (1.30) vinden we

1.32

iℏ ∂u(x,t) ∂t =Eu(x,t)

We identificeren E= p 2 /2m+V(x) en veronderstellen dat het resultaat geldig is voor iedere golffunctie ψ(x,t) :

1.33

iℏ ∂ψ(x,t) ∂t = H ⌢ ψ(x,t)
  • Dit is de algemene vorm van de Schrödingervergelijking die tijdafhankelijke quantumprocessen beschrijft.
  • Als ψ n (x) een eigenfunctie is van de stationaire Schrödingervergelijking met bijbehorende energie E n , dan is de golffunctie

1.34

ψ n (x,t)=exp(−i E n t/ℏ) ψ n (x)
  • een oplossing van de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking.