Synopsis Quantummechanica I

Bewijs onzekerheidsrelatie

Met het doel de ongelijkheid (1.24) te bewijzen definiëren we $f (x) = x ψ (x)$ en de functie $g (x) = \overset{⌢}{p} ψ (x) = - i ℏ \partial ψ (x) / \partial x$ . We kunnen daarmee de standaardafwijkingen (1.25ab) schrijven in de vorm

1.26

{(Δ x)}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} d x | f {(x)}^{2} | {(Δ p)}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} d x | g {(x)}^{2} |

Vervolgens gebruiken we de Cauchy-Schwarz ongelijkheid:

1.27

\int_{- \infty}^{\infty} d x {| f (x) |}^{2} \int_{- \infty}^{\infty} d x {| g (x) |}^{2} \geq {| \int_{- \infty}^{\infty} d x f^{*} (x) g (x) |}^{2}

en de ongelijkheid

1.28

{| \int_{- \infty}^{\infty} d x f^{*} (x) g (x) |}^{2} \geq {[Im \int_{- \infty}^{\infty} d x f^{*} (x) g (x)]}^{2}

Na enig rekenwerk blijkt de rechterzijde van (1.28) een constante te zijn: $ℏ^{2} / 4$ . Met dit resultaat en de Cauchy-Schwarz ongelijkheid (1.27) is de Heisenberg onzekerheidsrelatie (1.24) bewezen.

Bij de uitwerking van het rechterlid van (1. 28) blijkt dat de uitkomst bepaald wordt door het cruciale gegeven dat de plaats en impuls geconjugeerde grootheden zijn, met als gevolg dat hun commutator ongelijk nul is:

1.29

[x, \overset{⌢}{p}] : = x \overset{⌢}{p} - \overset{⌢}{p} x = i ℏ

Men kan met de Cauchy-Schwarz ongelijkheid een onzekerheidsrelatie als die van Heisenberg afleiden voor ieder paar niet-commuterende variabelen.