II Quantumgassen

Sackur-Tetrode formule

Het sommatie-naar-integratie voorschrift (2.10) toegepast op (2.7) levert voor de entropie-dichtheid van een ideaal quantumgas de uitdrukking

2.27

s = \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m T}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d x x^{1 / 2} [\frac{x - \log y}{y^{- 1} e^{x} - η} - η \log (1 - η y e^{- x})]

met afkortingen $y = \exp β μ$ en $x = β ε$ . Dit resultaat wordt ook gevonden door differentiatie van de druk (2.13) naar de temperatuur; zie (1.30).

We beschouwen nu een Bose-gas met $g = 1$ . Na een partiële integratie van de laatste term in (2.27) kunnen we het resultaat uitdrukken in de $g_{n}$ -functies (2.17) en de thermische debroglie-golflengte:

2.28

s = λ_{T}^{- 3} [\frac{5}{2} g_{5 / 2} (y) - g_{3 / 2} (y) \log y]

Aangezien de dichtheid gegeven wordt door (2.18) kan dit ook geschreven worden als

2.29

s = n [\frac{5}{2} \frac{g_{5 / 2} (y)}{g_{3 / 2} (y)} - \log y]

Deze formule kan gecontroleerd worden met de Euler relatie (1.22) geschreven voor dichtheden (grootheden gedeeld door het volume): $T s = e + P - μ n$ en de toestandsvergelijking (2.16).

In de klassieke limiet (2.24) reduceert (2.29) tot de Sackur-Tetrode formule voor de entropie van een ideaal gas van één-atomige moleculen:

2.30

s_{ST} (T, n) = \frac{5}{2} n - n \log n λ_{T}^{3} = n [\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \log (\frac{2 π m T}{h^{2}}) - \log n]

De Sackur-Tetrode formule geeft de mogelijkheid de constante van Planck te bepalen in thermodynamische experimenten.
De formule is van historisch belang omdat hiermee werd aangetoond dat de constante van Planck niet alleen relevant is voor fotonen, maar ook voor de (klassieke) statistische mechanica van deeltjes met massa, meer dan tien jaar voor de theoretische onderbouwing door de quantummechanica.