II Quantumgassen

Klassieke limiet

De thermische debroglie-golflengte $λ_{T} = h / \sqrt{2 π m T}$ wordt groter naarmate de temperatuur daalt. Er is dan een temperatuur waarbij, voor gegeven dichtheid, de corresponderende $λ_{T}$ gelijk is aan de gemiddelde afstand tussen de deeltjes: $n λ_{T}^{3} \approx 1$ . Dit punt markeert de scheiding tussen twee regimes:

het regime $n λ_{T}^{3} \geq 1$ waar quantumeffecten een (dominante) rol spelen;
het regime $n λ_{T}^{3} ≪ 1$ dat correspondeert met hoge temperatuur en/of lage dichtheid, Men noemt dit de klassieke limiet.

Bose-gas: met de reeksontwikkeling in (2.17) kan de deeltjesdichtheid (2.18) in de klassieke limiet benaderd worden als

2.24

n λ_{T}^{3} = g y (1 + \frac{y}{2 \sqrt{2}} + ....)

Kennelijk correspondeert de klassieke limiet met kleine fugaciteit $y ≪ 1$ . In deze limiet kunnen we een eenvoudige uitdrukking vinden voor het quotiënt in (2.19). Dit quotiënt meet de quantumcorrectie op de ideale gaswet ten gevolge van de Bose-Einstein statistiek. Met de toestandsvergelijking (2.16) krijgen we zo in laagste orde voor de druk:

2.25

P (T, n) = n T (1 - \frac{1}{g} \frac{1}{2^{5 / 2}} n λ_{T}^{3} + ....)

In een Bose-gas is de druk kleiner dan dan in een klassiek gas. De Bose-Einstein statistiek werkt kennelijk als een fictieve aantrekkingskracht tussen de deeltjes.

Fermi-gas: op dezelfde manier kan met de reeksontwikkeling in (2.20 ) een uitdrukking gevonden worden voor het quotiënt in (2.23). Dit quotiënt meet de quantumcorrectie op de ideale gaswet ten gevolge van de Fermi-Dirac statistiek. In laagste orde verschilt het resultaat ten opzichte van (2.25) slechts in het teken:

2.26

P (T, n) = n T (1 + \frac{1}{g} \frac{1}{2^{5 / 2}} n λ_{T}^{3} + ....)

Voor fermionen is de druk groter dan voor een klassiek gas. Het Pauli-principe manifesteert zich als een fictieve afstoting tussen de deeltjes.
In (2.25,26) zien we expliciet bevestigd dat de quantumcorrecties verwaarloosbaar zijn als de dimensieloze $n λ_{T}^{3}$ parameter veel kleiner is dan één.