III. Quantumstatistische modellen

Zwart gat

Een zwart gat wordt begrensd door een denkbeeldig oppervlak, de zogeheten waarnemingshorizon. Als het zwarte gat niet roteert is de waarnemingshorizon bolvormig met schwarzschildstraal

3.40

R_{S} : = \frac{2 G M}{c {}^{2}} \approx 2,95 \frac{M}{M_{⊙}} km

evenredig met de massa $M$ van het zwarte gat. Een zwart gat ontstaat als aan het einde van de levensloop van een zware ster (5-100 zonsmassa’s), de sterkern door de eigen zwaartekracht wordt samengeperst in een volume binnen de schwarzschildstraal.

Het oppervlak van de waarnemingshorizon is $A_{S} : = 4 π R_{S}^{2}$ . Met formule (3.40) volgt de energievergelijking voor een zwart gat

3.41

δ E = c^{2} δ M = \frac{c^{2} g}{8 π G} δ A_{S} g : = \frac{G M}{R_{S}^{2}} = \frac{c^{4}}{4 G M}

De grootheid $g$ kan geïnterpreteerd worden als de zwaartekrachts-versnelling op het horizonoppervlak.

De energievergelijking (3.41) kan geschreven worden in een vorm die wel de eerste hoofdwet van de zwarte-gaten thermodynamica wordt genoemd

3.42

δ E = T_{H} δ S_{BH}

Hierin zijn de hawking-temperatuur en de bekenstein-hawking-entropie gedefinieerd als

3.43

T_{H} : = \frac{ℏ g}{2 π c} S_{BH} : = \frac{c^{3} A_{S}}{4 G ℏ} = \frac{A_{S}}{4 l_{Planck}^{2}}

Jacob Bekenstein (1972) en Stephen Hawking (1974) hebben aangetoond dat de hawking-temperatuur en de bekenstein-hawking-entropie de betekenis hebben die in de thermodynamica aan de begrippen temperatuur en entropie wordt toegekend.
I.h.b. is de bekenstein-hawking-entropie, evenredig met het horizon oppervlak, een maat voor het gebrek aan kennis over de interne toestand van een zwart gat. De hawking-temperatuur karakteriseert de (extreem zwakke) straling die een zwart gat uitzendt ten gevolge van quantumeffecten.
De plancklengte die optreedt in de formule voor de bekenstein-hawking-entropie is gedefinieerd als

3.44

l_{Planck} : = \sqrt{G ℏ / c^{3}} = 1,616 \cdot 10^{- 35} m

De plancklengte (Max Planck, 1899) wordt beschouwd als de kleinste betekenisvolle eenheid van lengte binnen de fundamentele theorieën die de basisstructuur van het heelal trachten te beschrijven.