III. Quantumstatistische modellen

Chandrasekhar-massa

Als gevolg van het feit dat de straal van een ingestorte ster kleiner is naarmate de massa van de ster groter is, schaalt de kinetische energie per deeltje als $\sim M^{4 / 3}$ . Dus voor een voldoende grote massa wordt de kinetische energie van de ontaarde elektronen relativistisch.

In de ultra-relativistische limiet $ℏ k ≫ m c$ geeft de energiedichtheid (3.34), na invullen van $k_{F} = {(3 π)}^{1 / 3} n^{1 / 3}$ , de kinetische energie $E_{kin} = e_{0} V$ in termen van de deeltjesdichtheid. De totale energie is dan de som

3.35

E = E_{kin} + E_{grav} = \frac{A - B}{R} + C R

3.36

A : = \frac{3 ℏ c}{8} {(\frac{9 π M^{4}}{8 m_{p}^{4}})}^{1 / 3} B : = \frac{3}{5} G M^{2} C : = \frac{3 m^{2} c^{3}}{4 ℏ} {(\frac{M^{2}}{9 π m_{p}^{2}})}^{1 / 3}

Op dezelfde manier als voor de witte dwerg wordt de evenwichtstoestand berekend door de energie te minimaliseren bij constante massa. In de ultra-relativistische limiet moet de straal $R$ nu voldoen aan de vergelijking

3.37

A - B = C R^{2} > 0

Voor $A > B$ heeft vergelijking (3.37) een oplossing. De ster eindigt dan als een witte dwerg in een stabiele evenwichtstoestand.

De gelijkheid $A = B$ definieert de Chandrasekhar-limiet (Subramanyan Chandrasekhar 1930). Met $A$ en $B$ gegeven in (3.36) berekenen we de Chandrasekhar-massa:

3.38

M_{C} \sim {(\frac{ℏ c}{G})}^{3 / 2} \frac{1}{m_{p}^{2}} = 1,85 M_{⊙}

De numerieke factor die volgt uit de berekening is te groot; realistischer stermodellen, die rekening houden met variaties in de dichtheid, geven $M_{C} ≃ 1,44 M_{⊙}$ .

Als $M \geq M_{C}$ is de ster is instabiel. De toenemende zwaartekracht zal het winnen van de ontaardingsdruk ten gevolge van het Pauli-principe en de ster blijft krimpen. Het is mogelijke dat de ineenstorting van de ster dan alsnog geremd wordt door de ontaardingsdruk van de neutronen; dan vormt zich een neutronenster. Of de ster eindigt als een zwart gat.
De factor tussen haakjes in (3.38) definieert de planckmassa

3.39

m_{Planck} : = \sqrt{\frac{ℏ c}{G}} = 2,177 \cdot 10^{- 8} kg

Deze massa-eenheid, geïntroduceerd door Max Planck in 1899, is geheel opgebouwd uit de drie fundamentele natuurconstanten geassocieerd met de quantumtheorie, de relativiteitstheorie en de zwaartekrachttheorie (algemene relativiteitstheorie).