sectie Extra...

Een elektron dat door de kern wordt aangetrokken, kan alleen bepaalde waarden voor de energie hebben. De maan wordt op dezelfde manier aangetrokken door de aarde, als het elektron door de kern. Vergelijk maar de gravitatiewet en de wet van Coulomb:

F_{grav} = G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} en F_{el} = k \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}

De gravitatie werkt op de massa in plaats van op de lading, de constante is anders, maar de twee krachten hangen op dezelfde manier van de afstand af. Als je wilt kijken hoe groot de quantumsprongen zijn voor de maan die om de aarde cirkelt, moet je k vervangen door G en de ladingen door de massa’s.

De energieën zijn in het geval van het elektron dat door de kern wordt aangetrokken gelijk aan

E_{n} = - 2 π^{2} \cdot k^{2} \frac{m \cdot e^{4}}{h^{2} \cdot n^{2}}

Het is een beetje lastig dat in het elektrische geval in de formule voor de energieën niet alleen de lading van het elektron, maar ook de massa van het elektron staat. Die moet ook vervangen worden door de massa van de maan, dat is nu het ‘deeltje dat wordt aangetrokken’. Eén keer wordt de lading vervangen door de massa omdat de gravitatiekracht op de massa werkt, één keer staat de massa van de maan er omdat het déze massa is die versneld moet worden. Hoe dan ook, als je de maan net zo behandelt als het elektron, worden de energieën gelijk aan

E = 2 π^{2} \cdot G^{2} \frac{m^{3}_{maan} \cdot m^{2}_{aarde}}{h^{2} \cdot n^{2}}

De energie van een overgang van niveau n naar m wordt gegeven door:

Δ E = 2 π^{2} \cdot G^{2} \frac{m^{3}_{maan} \cdot m^{2}_{aarde}}{h^{2}} \cdot (\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}})

Nu lijkt het helemaal fout te gaan met de redenering dat de energiesprongen heel klein zijn in macroscopische systemen, want 2π²G²∙m³_maan∙m²_aarde/h² is enorm groot, wel 10165. Maar als we kijken naar de uitdrukking voor de straal van de baan

r = \frac{n^{2} \cdot h^{2}}{4 π^{2} \cdot G \cdot m_{aarde} \cdot m^{2}_{maan}}

dan zien we dat de maan in een enorm hoog aangeslagen toestand is. Als we de afstand van de maan tot de aarde invullen vinden we n=1068. Als we nu kijken wat de factor (1/n² -1/m²) doet voor twee opeenvolgende toestanden, dan zien we dat die factor heel klein is. Met n=1068 en m=n+1 vinden we dat deze factor van de orde van grootte is van 10^-204. Uiteindelijk is ΔE slechts 10^-39 J groot. Heel klein dus, zeker vergeleken met de totale energie van de maan in zijn baan. De stapjes zijn onmerkbaar klein. Dat klopt ook wel, want de maan in zijn baan is bepaald geen microscopisch systeem.

Atomen tref je aan in hun grondtoestand of in een van de eerste aangeslagen toestanden. De energie van een overgang zit in het gebied van het zichtbaar licht, de fotonen hebben energie van de orde van grootte 10^-19 J. Dat is veel meer dan we vonden in het geval van de maan. De totale energie is veel lager, je merkt hier wél dat de energie toeneemt of afneemt in sprongetjes.