Hoofdstuk 2. De relativiteit van gelijktijdigheid

Hier ligt een fundamenteel onderscheid tussen de theorie van Einstein en de Newtonse natuurkunde. Bij Newton zijn plaats en snelheid relatief (hangen van de waarnemer af). De tijd is absoluut, en is dus gelijk voor alle waarnemers.

Bij Einstein zijn plaats en snelheid ook relatief. Eén snelheid echter is dat niet: de lichtsnelheid. Dit absoluut zijn van de lichtsnelheid leidt tot een draaiing van de lijnen die gelijke tijdstippen met elkaar verbinden: de tijd (of gelijktijdigheid) moet relatief worden. Hoeveel die lijnen ten opzichte van de zwarte assen draaien, hangt af van de snelheid ten opzichte van het zwarte stelsel waarmee de waarnemers door de ruimte bewegen.

Je ziet ook dat de nieuwe ruimte- en tijdas allebei dezelfde hoek maken met de oude assen, en met de wereldlijn van een lichtsignaal. Daarom zal een punt op die wereldlijn weer worden beschreven door gelijke componenten langs de x'- en w'- as, hoewel we ons nog even niet druk maken over de getalswaarden die we bij de schaalverdeling langs die assen moeten zetten. Deze afbeelding laat zien dat het tweede postulaat van Einstein maakt dat ruimte en tijd niet meer op een objectieve wijze van elkaar te scheiden zijn, en dat hun onderlinge relatie afhangt van de snelheid waarmee we bewegen. Daarom hanteren we graag één begrip dat hetzelfde is voor alle waarnemers: niet ruimte, niet tijd, maar ruimtetijd.

Het schenkt een zekere voldoening om op grond van zuiver kwalitatieve argumenten tot zulke verrassende inzichten te komen. Toch is dit een goed moment om iets kwantitatiefs te zeggen over de hellingshoeken van het rode raster. Als de rode reizigers de snelheid v hebben, verplaatsen ze zich in een tijdsduur t over een afstand $x=v\cdot t$. Met de afspraak dat $w=c\cdot t$ geeft dat:

Dat kunnen we ook schrijven als

Bekijk nu de driehoek met de zijden w, w' en x in het ruimtetijddiagram figuur 2.7b. In deze driehoek zien we dat voor de tangens van de hoek $\alpha$ (de hoek tussen de w-as en de w'-as) geldt:

Hieruit volgt dat:

De relatieve snelheidsparameter v/c wordt gewoonlijk weergegeven als bèta:

en die notatie zullen we vaak aanhouden. Omdat de verhouding $\beta$ tussen twee snelheden weergeeft, is het een puur getal onafhankelijk van de keuze van natuurkundige eenheden. Merk op dat ook de tangens van de hoek tussen de x-as en de x'-as gelijk is aan $\beta$ .