Hoofdstuk 2. Opgaven

  • Je moet referentiekaders kunnen tekenen in het ruimtetijddiagram voor waarnemers met verschillende snelheden.
  • Je moet kunnen uitleggen hoe klokken kunnen worden gesynchroniseerd met een lichtsignaal.
  • Je moet kunnen laten zien dat twee tijdstippen die gelijktijdig zijn in stelsel A niet noodzakelijkerwijze gelijktijdig zijn in een stelsel B dat eenparig beweegt ten opzichte van stelsel A.

§ 2.1

Tussen twee gebeurtenissen zit een tijdsinterval van 5 ls.

  1. Met hoeveel (gewone) seconden komt dit overeen?
  2. Met hoeveel meter komt dit overeen?
afbeelding
Figuur 2.1 Wereldlijnen van twee waarnemers

Stel dat in figuur 2.1 de hokjes zo gekozen zijn dat het licht 1 seconde erover doet om één zo'n hokje te doorlopen. Dit geldt zowel horizontaal als verticaal.

  1. Bereken de afstand tussen A en B, in km uitgedrukt.

Gebruik de tekentool om een ruimtetijddiagram te maken dat hoort bij een voorwerp dat zich met de halve lichtsnelheid verplaatst.

Bij natuurkunde leerde je: "hoe steiler een ruimtetijddiagram loopt, hoe groter de snelheid". Is dat in dit geval ook waar?

§ 2.2

Bekijk figuur 2.2.

Afbeelding
Figuur 2.2 Klokken gelijkzetten (synchroniseren); de hokjes in het diagram hebben een breedte en hoogte van 1 lichtseconde.

Annie en Bert maakten de afspraak hun klokken op de volgende manier gelijk te zetten: Annie zendt een lichtsignaal richting Bert, op het tijdstip tA = 12 h.
Bert ontvangt het signaal en zendt het onmiddellijk terug naar A op het tijdstip tB =12 h.

  1. Wat wijst de klok van Annie aan als zij het door Bert teruggekaatste signaal ontvangt?

    2. Annie en Bert hadden afgesproken dat Annie na ontvangst van het door Bert gezonden signaal haar klok zo zou instellen dat die hetzelfde aanwijst als de klok van Bert.

  2. Hoe moet Annie haar klok dan verzetten?

    3. De klokken van Annie en Bert zijn gelijk gezet.
    Ergens tussen hun in gaat een lamp aan. Annie noteert dat zij het eerste licht van die lamp ontvangt op tA = 4 s; Bert ontvangt het eerste licht op tB = 5 s. Annie en Bert laten elkaar dit weten.

  3. Leg uit op welk tijdstip de lamp aan ging en op welke plaats de lamp toen was.
    Aanwijzing: je kunt dit beantwoorden als je de wereldlijnen van de lichtstralen die Annie en Bert ontvangen 'terug in de tijd' tekent.

Er staan twee waarnemers op bepaalde afstanden van mij. Laat in diagram 2.11 zien hoe ik met hun medewerking, door middel van een tijdmeting hun onderlinge afstand kan bepalen.

Afbeelding
Figuur 2.11 Afstandsmeting met een klok

§ 2.3

Charlotte zendt een lichtsignaal naar Britney, dat Britney in het ruimte-tijdpunt dat met een blauwe stip is weergegeven, ontvangt.

  1. Teken in figuur 2.12 de wereldlijn van dit lichtsignaal.

    2. Britney zendt in het ruimte-tijdpunt dat aangegeven is met de z stip twee lichtsignalen uit; een naar voren, de andere naar achteren.

  2. Teken in figuur 2.12 de wereldlijnen van deze lichtstralen.
Afbeelding
Figuur 2.12 Wereldlijnen van lichtstralen

§ 2.4

Afbeelding
Figuur 2.5 Gelijktijdigheid is relatief

De bovenste stippellijn in figuur 2.5 staat per definitie voor de lijn die dezelfde tijd markeert in de bewegende stelsels.

  1. Leg uit dat alle lijnen die hier evenwijdig aan lopen ook lijnen moeten zijn van hetzelfde tijdstip en dat de stippellijn door de oorsprong de nieuwe ruimte-as (x'-as) moet zijn.

    2. In § 2.4 staat over de verschillende assen in figuur 2.5: "gebeurtenissen die in het zwarte stelsel gelijktijdig zijn en dus op dezelfde horizontale zwarte lijn liggen, meestal niet gelijktijdig zullen zijn in het rode stelsel!"

  2. Wanneer zijn gebeurtenissen dan wel gelijktijdig in het rode en in het zwarte stelsel?
  1. Over welke twee snelheidsmetingen zijn twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen het altijd eens?
  2. Over welke snelheidsmetingen zijn ze het oneens?
Afbeelding
Figuur 2.5 Gelijktijdigheid is relatief

Deze opgave gaat over figuur 2.5.

  1. Bepaal de snelheid van Arnold. Leg uit ten opzichte waarvan die snelheid wordt bepaald.
  2. De gele lijnen staan loodrecht op elkaar. Is dit altijd het geval bij de wereldlijnen van lichtsignalen die zich in tegengestelde richting voortplanten? Licht toe.

    3. Het eerste gele lijnstuk tussen A en w1' is veel langer dan het tweede gele lijnstuk tussen w1' en w2'.

  3. Kun je daarom zeggen dat "de afstand die het licht in het eerste stuk aflegt groter is dan in het tweede stuk"? Is die uitspraak absoluut goed of absoluut fout?
  4. Mag je, op dezelfde manier, zeggen dat het licht in het eerste stuk langere tijd onderweg is dan in het tweede stuk?

    5. Britney doet hetzelfde als Arnold: op haar tijdstip 0 zendt zij een lichtsignaal 3 naar Arnold, die na ontvangst onmiddellijk een signaal 4 terugzendt.

  5. Teken deze signalen in bovenstaande figuur 2.5 erbij - bedenk eerst in welk punt Britney zich volgens Arnold op t = 0 bevindt!

Stel dat je op een perron staat waar een trein langs rijdt. Als het midden van de trein pal voor jou is, slaan twee bliksems tegelijk in, in de voorkant en de achterkant van de trein. De trein beweegt naar rechts.

  1. Zal jij die bliksems tegelijk waarnemen?
  2. Geldt dat ook voor een reiziger die zich precies midden in de trein bevindt? Om dit te achterhalen moet je de tekentool gebruiken: teken de wereldlijnen van de voorkant, het midden en de achterkant van de trein, en van de bliksemflitsen. Verklaar nu dat de treinreiziger de flitsen niet tegelijkertijd waarneemt, hoewel beide lichtsignalen een halve treinlengte met gelijke snelheid onderweg zijn.
  1. Verzin een procedure waarbij de klokken van drie waarnemers, die allen met dezelfde snelheid bewegen, gesynchroniseerd worden.
  2. Maak een tekening van de procedure in een ruimtetijddiagram.

§ 2.6

  1. Leg uit dat de relatieve snelheidsparameter β geen eenheid heeft.
  2. Bereken de waarde van β voor een fietser (18 km/h), een auto (100 km/h), een straaljager (3000 km/h).
  3. Welke conclusie kun je op grond van je antwoorden op vraag b trekken omtrent de hellingshoeken van de nieuwe tijd- en ruimte-assen van de straaljager?
  4. Zie figuur 2.7a. Teken in figuur 2.13 twee stelsels waarin de assen van het stelsel dat in figuur 2.7a rood is weergegeven, loodrecht op elkaar staan. Het stelsel dat in fig. 2.7a nog met behulp van loodrechte assen wordt getekend, krijgt dan assen die niet meer loodrecht op elkaar staan.

    5. "Om een voor alle inertiële waarnemers gelijke lichtsnelheid te krijgen is het nodig dat een punt op de wereldlijn van een lichtstraal gelijke componenten langs de ruimte- en tijd-as heeft".

  5. Moet dit ook in het 'platgedrukte' stelsel gelden?
Afbeelding
Figuur 2.13 Van rood naar zwart

§ 2.7

  1. Wat is absoluut bij Newton, wat bij Einstein en wat is relatief? Beantwoord dit voor: verplaatsing, tijd, snelheid, lichtsnelheid.
  2. Geef in figuur 2.5 de afstand tussen Arnold en Britney in het rode stelsel aan.

Twee waarnemers Ankie en Bernard bewegen ten opzichte van elkaar met constante snelheid.
Welke van de volgende grootheden hebben voor Ankie en Bernard dezelfde waarde:

  1. de lichtsnelheid
  2. de snelheid van een elektron
  3. het getal van Avogadro
  4. de tijd tussen twee gebeurtenissen
  5. de kinetische energie van een proton?

In figuur 2.14 is sprake van drie waarnemers. A, in het zwarte stelsel, en B en C die met gelijke snelheid ten opzichte van A bewegen, op constante afstand van elkaar.
De bedoeling is dat B en C hun klokken gaan gelijk zetten, door uitwisseling van lichtsignalen. Zij werken vanuit het idee dat de tijd universeel is (Newton).

Volgens Newton meet A voor de snelheid van het licht dat B uitzendt u=c+v , en voor het door C teruggekaatste licht u'=-c+v.

  1. Ben je het eens met de bewering dat P en Q zowel in het rode als in het zwarte stelsel gelijktijdig zijn?
  2. Wat valt je op aan de gelijktijdigheidslijnen in beide stelsels?
Afbeelding
Figuur 2.14 Gelijktijdigheid volgens Newton