Hoofdstuk 5. Opgaven

  • Je moet ruimtetijdcoördinaten uit het ene referentiekader kunnen omrekenen naar een ander referentiekader met behulp van de Lorentz-transformaties.
  • Je moet in een ruimtetijddiagram kunnen aantonen dat verschillende inertiaalwaarnemers van mening kunnen verschillen over de lengte van een voorwerp.
  • Je moet kunnen uitleggen dat inertiaalwaarnemers het altijd eens zullen zijn over de grootte van het ruimtetijdinterval.

§ 5.1

Laat zien dat de formules waarin x’ en w’ worden uitgedrukt in termen van x en w kunnen worden verkregen uit de hier gegeven formules als je v vervangt door -v. Precies wat je zou verwachten in de relativiteitstheorie.

§ 5.2

Een voetbalveld heeft afmetingen 50x100 m. Je vliegt vlak over het veld en dat ziet er uit als een vierkant!

  1. Met welke snelheid vlieg je, en in welke richting?

Neem een zwart en een rood stelsel. Bob is in rust in het rode stelsel, Alice in het zwarte stelsel. Bob beweegt met snelheid 0,6c ten opzichte van het zwarte.

  1. Teken dit in figuur 5.9
  2. Neem het tijdstip t = 5; geef aan op welke plaats in het zwarte stelsel Bob zich bevindt.
  3. Bereken de tijd die Bob’s klok aangeeft op t = 5.

    4. Voor Bob beweegt Alice met snelheid -0,6 c.

  4. Bereken de plaats van Alice in Bob’s stelsel op je bij vraag c. gevonden tijdstip.
  5. Vergelijk Bob’s plaats op t = 5 met je antwoord op vraag d. en trek een conclusie.
Afbeelding
Figuur 5.9 Tijdrek en lengtekrimp

§ 5.3

Bob zit in een snelle bolide. Hij rijdt met snelheid 0,6 c langs Alice. Op dat moment drukken beiden hun stopwatch in.

Bob rijdt op een tunnel af; alle volgende afstanden zijn vermeld in lichtseconden. De tunnelingang bevindt zich 2 lichtseconden bij Alice vandaan. De lengte van de tunnel is 3 lichtseconden. Deze afstanden zijn gemeten in het stelsel van Alice.

  1. Schets een ruimtetijddiagram waarin Bob beweegt en ook de wereldlijnen van de tunnelingang en -uitgang zijn weergegeven.
  2. Bereken op welke tijdstippen, in het stelsel van Alice gemeten, Bob de tunnel inrijdt en even later weer uitrijdt.

    3. Bob ziet een tunnel met grote snelheid op zich af komen.

  3. Bereken de lengte van de tunnel in het stelsel van Bob.
  4. Hoe lang blijft Bob in die tunnel, volgens hemzelf?

Beredeneer dat als er meer dan één ruimtelijke dimensie is, de dimensies loodrecht op de beweging niet krimpen.

Dat kun je doen met behulp van het volgende gedachte-experiment, dat afkomstig is van Taylor en Wheeler. Een trein rijdt langs een muur, waarop een blauwe lijn is geschilderd op precies twee meter boven de grond. In de trein zit een man met een kwast met rode verf, die uit het raampje hangt omdat hij een lijn op de muur wil trekken, ook precies op twee meter hoogte boven de grond. Zal de rode lijn boven of onder de blauwe uitkomen?

  1. Begin met de aanname dat de verticale dimensie ook verkort wordt in het bewegende stelsel, en toon dan met het relativiteitspostulaat aan dat dit leidt tot een tegenstrijdigheid

In opgave 53 zagen we dat snelbewegende muonen voor ons langzamer vervallen ten gevolge van de tijdrek. Vanuit de muonen gezien speelt zich iets anders af, dat echter volkomen gelijkwaardig daarmee is.

Het muon ziet juist de aarde met grote snelheid op zich af komen. De 20 km, gemeten in het aardse stelsel, is in het muonstelsel veel kleiner.

  1. Bereken hoe klein.
  2. Hoe lang doet, in het muonstelsel gemeten, de aarde erover om de bij a gevonden afstand te overbruggen?
  3. Hoeveel % (ongeveer) van de muonen is dan nog over als de aarde hen treft?

§ 5.4

Bij gebruik van een versneller als boven beschreven ontstaan bij botsingen zeer snelle, kortlevende deeltjes. Kortlevend als ze stilstaan in het stelsel van het laboratorium! Omdat ze echter met zeer hoge snelheden bewegen, is voor de waarnemer in het laboratorium hun levensduur veel groter. Ze zijn daardoor in staat tijdens hun leven veel grotere afstanden te overbruggen dan op grond van de Newtonse theorie berekend kan worden. Die veel grotere afstanden worden bij experimenten met dergelijke versnellers inderdaad waargenomen.

  1. Moet de lengteverhouding van de hierboven genoemde buisjes (zie paragraaf 5.4) inderdaad 1 : (10/7) zijn – of is er een reden om het toch op 1 ; 1,005 te houden?

Opmerking: waaróm het zinvol is de deeltjes op te jagen tot een snelheid van 0,995c (of liever nog dichter bij de lichtsnelheid) in plaats van 0,99c, heeft te maken met de enorme toename van de impuls die zo bereikt kan worden. Impuls bepaalt hoeveel kracht bij een botsing uitgeoefend kan worden. Op de impuls komen we in hoofdstuk 6 terug.

Een vierkant gaat met snelheid v voorbij aan een stilstaande waarnemer die zich in de verte op de negatieve y-as bevindt als aangegeven in onderstaande figuur 5.7. Dit speelt zich dus af in een plat vlak.

Afbeelding
Figuur 5.10 Het Terrell effect: een waarnemer ziet een bewegend vierkant als geroteerd over een hoek φ=arcsinβ

Alle punten van de zijkant van het vierkant zenden lichtsignalen naar de waarnemer.

Op een gegeven tijdstip ziet de waarnemer dus de punten op een positie dat ze even ver weg van de waarnemer waren. Het hoekpunt links boven ligt verder weg dan het hoekpunt aan de voorzijde. Als we aannemen dat de waarnemer heel ver weg is, geldt dat de waarnemer de linkerbovenhoek dus waarneemt op een plaats die correspondeert met een eerder tijdstip.

  1. Hoe groot is het tijdverschil tussen de signalen die de waarnemer van linker boven en ondergelegen hoekpunten ontvangt?
  2. Hoever is de verplaatsing van het vierkant in dat tijdsverloop?
  3. De zijde a van het vierkant dat in de bewegingsrichting ligt ondervindt voor de stilstaande waarnemer een Lorentz-contractie. Hoe lang is de lengte van die zijde voor de waarnemer?
  4. De aanblik die het bewegende vierkant biedt correspondeert dus met een geroteerd vierkant zoals aangegeven aan de linkerzijde van de figuur. Wat is de hoek waarover het vierkant geroteerd is?
  5. Hoe ziet een bewegende ronde schijf eruit voor de waarnemer?

Van het Terrell-effect is een simulatie beschikbaar op internet:

YouTube; Terrell-effect

Voor meer visuele effecten en de bovenstaande simulatie in betere kwaliteit kun je kijken op Seeing Relativity

§ 5.5

Laat zien dat bij de overgang van het zwarte naar het rode stelsel s2 invariant is. Dat wil zeggen:

  1. vul voor w de uit de Lorentztransformatie verkregen uitdrukking voorw' in, en doe hetzelfde voor x
  2. toon dan aan dat w 2 − x 2 = ( w' ) 2 − ( x' ) 2
  1. Welke waarde heeft s2 voor het licht in vacuüm?
afbeelding
Figuur 3.1 Tante Sidonia ✝

Zie het begin van hoofdstuk 3; kijk naar figuur 3.1. Paultje schiet en even later valt Sidonia.

  1. Bereken de waarde van s2 voor de ruimtetijdafstand tussen deze twee gebeurtenissen.
  2. Trek een conclusie.

    3. Met de formule s 2 = w 2 - x 2 kunnen we nu een nieuw licht werpen op tijdrek en lengtekrimp. Voor alle waarnemers heeft s2 dezelfde waarde. Neem een zwart en een rood stelsel. In figuur 5.11 is dat getekend. Tevens is de hyperbool w 2 - x 2 =1 ingetekend.

  3. Kijk naar de ruimtetijdpunten die met blauwe rondjes zijn aangegeven.

De waarnemer in het zwarte stelsel meet een grotere verplaatsing dan die in het rode stelsel (die laatste meet namelijk geen verplaatsing). Een grotere x eist volgens w 2 - x 2 =1 een grotere w-waarde. De zwarte waarnemer kent aan het bovenste blauwe punt dus een grotere tijdswaarde toe dan de rode dit doet. De zwarte zegt dat de tijd van de rode langzamer loopt. Bovendien is zo, opnieuw, in te zien dat bij kleine onderlinge snelheden (w’-as valt vrijwel samen met de w-as) dit effect verwaarloosbaar is.

Afbeelding
Figuur 5.11 Voor wie reist, loopt de tijd langzamer
  1. Kun je zelf een vergelijkbare redenatie opstellen voor lengtekrimp?

Aanwijzing: bedenk met welke hyperbool je in dat geval van doen hebt.

In het ruststelsel beschouwen we twee gebeurtenissentekst (w1, x1) en (w2, x2)

  1. Bereken het interval tussen beide gebeurtenissen
  2. In welk stelsel is het tijdsverschil tussen beide gebeurtenissen het kleinst?
Afbeelding
Figuur 5.11 Voor wie reist, loopt de tijd langzamer

In figuur 5.11 beweegt het rode stelsel met grote snelheid ten opzichte van het zwarte.

  1. Wat kun je opmerken, naarmate de onderlinge snelheid toeneemt, over de tijd-asindeling van het rode stelsel, bezien vanuit het zwarte stelsel?

De vraag over het voetbalveld (opgave 58), kun je ook met behulp van de tekentool oplossen. De tool kan hyperbolen voor je tekenen, als je bij ‘Vorm’ het kromme lijntje selecteert.

Neem voor de lengte van het voetbalveld 4 lengte-eenheden.

  1. Hoe snel moet je bewegen om die als 2 lengte-eenheden waar te nemen?
    Teken daartoe de hyperbool die twee lengte-eenheden van de x-as afsnijdt. Alle x’-waarden die horen bij een punt op de hyperbool zijn gelijk aan 2.
  2. Lees nu de gevraagde snelheid af en vergelijk deze met wat je in opgave 58 berekende.
  3. Vind het snijpunt van die hyperbool met de lijn x=4.
  4. Lees nu de gevraagde snelheid af en vergelijk deze met wat je in opgave 58 berekende.
Afbeelding
Figuur 5.12 w²-x²=81 en w²-x²=-81.

Gegeven zijn de ruimtetijdintervallen w²-x²=81 en w²-x²=-81.

In figuur 5.12 zijn de (delen van) hyperbolen getekend die hierbij horen. Een reiziger heeft snelheid 0,8 c en gaat op t=0 door de oorsprong in de positieve x-richting.

  1. Bepaal uit figuur 5.12 wat de zwarte klok aanwijst op het tijdstip dat de rode 9 aangeeft.
  2. Laat door berekening van de gammafactor voor tijdrek zien dat deze in overeenstemming is met je antwoord op vraag a.

    3. De rode reiziger heeft een meetlat bij zich die in het rode stelsel een lengte van 9 lichtseconden heeft.

  3. Geef in de figuur de lengte aan die de zwarte waarnemer voor deze bewegende meetlat waarneemt.

    4. Een andere reiziger blijkt zich in dezelfde lange trein te bevinden als de reiziger uit vraag a tot en met c. Hij bevindt zich, in het rode stelsel gemeten, in het punt x´= 4. Hij klapt op het rode tijdstip t´ = 10 s in zijn handen.

  4. Bereken de plaats- en tijdcoördinaten van deze gebeurtenis in het zwarte stelsel.