Hoofdstuk 6. Opgaven

  • Je moet een relativistische impulsvector kunnen tekenen in een ruimtetijddiagram.
  • Je moet kunnen uitleggen wat bedoeld wordt met het feit dat massa en energie 'equivalent' zijn.
  • Je moet kunnen uitleggen hoe relativistische massa verschilt van (gewone) massa.

§ 6.3

Afbeelding
Figuur 6.5a Impulsbehoud volgens Einstein, in het ruststelsel
Figuur 6.5b Impulsbehoud volgens Einstein, in het bewegende stelsel

Zie figuur 6.5 a en b.

Merk op dat de ruimtelijke component van de groene en blauwe impulsvectoren gelijk zijn; dat komt in feite doordat we de correcte optelformule voor snelheden hebben gebruikt.

  1. Bereken nu eerst m(u) met u = 2v/(1+β2)).
  2. Laat vervolgens door een berekening zien dat inderdaad: M(v) v = 2 m(u)u.

Daarmee hebben we op een algebraïsche manier laten zien dat het meetkundige ruimtetijddiagram inderdaad klopt.

(Je vindt: m(u)=m0 (1+β2)/(1-β2), en M(v)=γ M0= 2 γ m(v); invullen bewijst de gewenste relatie)

§ 6.4

Afbeelding
Figuur 6.17a

Zie figuur 6.17a.

De Lorentztransformaties laten de grootheid w² – x² invariant.

  1. Hoe groot is deze in het rode stelsel?
  2. Laat zien dat deze in het zwarte stelsel even groot is (zie ook T.25).
Afbeelding
Figuur 6.17b

De getekende vector heeft in het rode stelsel lengte p'.

  1. Bereken zijn tijd – en x-component in het zwarte stelsel.
  2. Laat zien dat zijn lengte in het rode stelsel even groot is als in het zwarte.
  3. Wijs een tweede vector aan die even lang is als de rode vector.

Als twee deeltjes op elkaar botsen, is hun relatieve snelheid nooit groter dan c, en dus beperkt.

  1. Is hun relatieve impuls daarmee ook beperkt of kan die, in theorie, een oneindige waarde benaderen?
  2. Zo ja, onder welke omstandigheden?

In de uitdrukking γm c 2 ≈m c 2 + 1 2 m v 2 staan aan de rechterkant twee energieën.

  1. Leg uit dat voor een rijdende auto de waarde van mc2 veel groter is dan de waarde van mv2/2.
  1. Wat kun je opmerken over de waarde van de relativistische massa, als een lichaam de lichtsnelheid benadert?
  1. Bereken de waarde van mc2 voor 1 liter benzine en vergelijk die met de energie die vrijkomt bij de verbranding van 1 liter benzine.

In een kerncentrale wordt, door splitsing van uranium, massa omgezet in energie. Van de uraniummassa wordt 0,8 promille omgezet in energie. Neem nu een reactor met 100 kg uranium.

  1. Hoeveel energie, in J uitgedrukt, kan daar uit vrij komen?
  2. Hoeveel liter benzine je zou moeten verbranden om evenveel energie vrij te krijgen?

De uitdrukking E= m rel c 2 ≈m c 2 +½m v 2 lijkt te suggereren dat er een maximum aan energie voor een deeltje bestaat. De suggestie is: E max = 3 2 m c 2 . In werkelijkheid kan de energie van een deeltje boven alle grenzen uitgroeien (naar ‘oneindig’ gaan).

  1. Hoe is dit te rijmen met de benaderingsformule hierboven?

Stel dat de energie van een foton in een stilstaand stelsel gelijk is aan E is.

  1. Toon aan dat deze energie in een bewegend stelsel gelijk is aan E'=(1−β)γE . Maak hiervoor gebruik van figuur 6.5.
Afbeelding
Figuur 6.5a Impulsbehoud volgens Einstein, in het ruststelsel
Figuur 6.5b Impulsbehoud volgens Einstein, in het bewegende stelsel
  1. Laat dit zien.

Als een biljartbal A tegen een andere, stilstaande (B) botst, heeft A een zekere impuls, hetgeen aanleiding geeft tot krachten bij de botsing. Zou B nu ook een even grote snelheid hebben en op A afrollen, dan bezit A een twee maal zo grote impuls in het stelsel van B als eerst, hetgeen leidt tot een twee maal zo harde klap.

We gaan na of dit relativistisch ook zo is. Een proton A vliegt met snelheid 0,99c op een stilstaand proton B af.

  1. Bereken de ruimtelijke impuls van A in het stelsel van B, uitgedrukt in m en c, waarbij m de rustmassa is.

    2. Nu laten we B ook met snelheid 0,99c op de bewegende A afvliegen en vragen ons af of de impuls van A in B’s stelsel twee maal zo groot is als je antwoord bij vraag a.

  2. Bereken de snelheid van A ten opzichte van B.
  3. Bereken hoeveel maal zo groot de ruimtelijke impuls van A is in B’s stelsel in vergelijking tot je antwoord op vraag a.
Afbeelding
Figuur 6.18
  1. Laat door een handige keuze van de waarde voor p zien dat de lengte van de vector ( E/c ) 2 − p 2 direct is af te lezen uit figuur 6.18 (dit is figuur 6.6 uit de tekst).

Bij beschieting van een Argonkern met een proton ontstaan een Kaliumkern en een neutron:

A 19 40 r+ p 1 1 → K 19 40 + n 0 1

De Argonkern en het proton hebben samen een rustmassa van 40,95978 u (atomaire massa-eenheden). De K-kern en het neutron hebben samen een rustmassa van 40,96224 u. Stel nu dat de massacreatie die bij deze reactie optreedt geheel toe te schrijven is aan het feit dat het proton met zeer grote snelheid op de Ar-kern wordt geschoten.

  1. Bereken de minimale snelheid van dit proton.

Maak gebruik van:

rustmassa van het proton = 1,007276 u

1 u = 1,660539.10-27 kg.