7.1 Benaderingen

Kijk naar de wiskundige uitdrukking $\frac{1}{1 - x}$ ; deze kun je voor $0 \leq x < 1$ benaderen met behulp van de reeks:

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ...

Als we deze reeks na een bepaald aantal termen afbreken, vormt de verkregen veelterm een benadering van het linkerlid. Dit kun je zien, als je 1-x naar de andere kant brengt:

1 \approx (1 - x) \cdot (1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)

Uitwerking van de positieve termen aan de rechterkant levert,

1 + x + x^{2} + x^{3} + ...

terwijl de negatieve termen (afkomstig van -x) zijn:

- x - x^{2} - x^{3} - x^{4} - ...

Deze optelling levert $1 - x^{4}$ ; door hogere machten van x mee te nemen komt het product voor $0 \leq x < 1$ willekeurig dicht bij 1 te liggen. Voor kleine waarden van x kunnen we gebruik maken van de volgende, zogenaamde lineaire benadering:

Lineaire benadering

                  
                        1
                        
                          1−x 
                      ≈1+x  
                   Hierbij stelt x een getal voor dat veel kleiner is
                  dan 1.

We kunnen nu ook een benadering vinden voor de uitdrukking $1 / \sqrt{1 - x}$ . Als oplossing proberen we $1 + a \cdot x + b \cdot x^{2} + c \cdot x^{3} + ...$ , en rekenen dan de waarden van de coëfficiënten $a, b, c, ...$ uit. Bedenk dat

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \frac{1}{1 - x}

en van de laatste uitdrukking kennen we al de (benaderde) uitkomst. We berekenen

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

= {(1 + a \cdot x + b \cdot x^{2} + c \cdot x^{3} + ...)}^{2}

= (1 + 2 a x + (2 b + a^{2}) x^{2} + (2 c + 2 a b) x^{3} + ...)

= 1 + x + x^{2} + x^{3} + ...

Hieruit zie je dat $a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{8}, c = \frac{5}{16}$ . De uitdrukking $1 / \sqrt{1 - x}$ laat zich daarom benaderen door

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = 1 + \frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{8} \cdot x^{2} + \frac{5}{16} \cdot x^{3} + ...

We laten de hogere machten van x buiten beschouwing en verkrijgen de lineaire benadering:

Lineaire benadering

                  
                        1
                        
                              1−x   
                      =1+
                        1
                        2 
                      ⋅x+...  
                   Hierbij is x weer een getal dat veel kleiner is dan
                  1.