Synopsis Quantummechanica I

Onzekerheidsrelatie

De Duitse natuurkundige Werner Heisenberg introduceerde in 1927 het idee van een fundamentele onzekerheid in de quantummechanica. De formele wiskundige ongelijkheid die nu zijn naam draagt werd in 1928 afgeleid door Earle Hesse Kennard en door Hermann Weyl:

1.24

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

Deze ongelijkheid voor de standaardafwijking van de positie $Δ x$ en impuls $Δ p$ is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg: hoe nauwkeuriger de positie van een deeltje is bepaald, hoe minder nauwkeurig zijn impuls bekend is, en visa versa.

De standaardafwijking voor $x$ heeft de gebruikelijke definitie ${(Δ x)}^{2} = 〈 x^{2} 〉 - {〈 x 〉}^{2}$ en idem voor $p$ . In de quantummechanica worden de gemiddelden van het kwadraat gegeven door

1.25a

{(Δ x)}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} d x ψ^{*} (x) x^{2} ψ (x)

1.25b

{(Δ p)}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} d x ψ^{*} (x) {\overset{⌢}{p}}^{2} ψ (x)

met de impulsoperator (1.22). Ter vereenvoudiging is hierbij aangenomen dat de gemiddelden $〈 x 〉$ en $〈 p 〉$ nul zijn, hetgeen neerkomt op een verschuiving van de oorsprong van de coördinaten.

Onzekerheidsrelaties als die van Heisenberg zijn af te leiden voor ieder paar geconjugeerde variabelen.
Voor een wiskundig bewijs van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zie de volgende pagina.