Dirac bra–ket notatie

In 1939 werd door Paul Dirac een nieuwe formele interpretatie gegeven aan de notatie $〈 u | v 〉$ van het inproduct (3.1). Zijn inzicht was dat de ket $| v 〉$ en de bra $〈 u |$ beschouwd kunnen worden als aparte vectorobjecten in een abstracte Hilbertruimte, die ook als zodanig gemanipuleerd kunnen worden.

De aanname is dat iedere toestand van een quantumsysteem gerepresenteerd kan worden door een ket $| ψ 〉$ . Het verband met de golffunctie $ψ (x)$ wordt gegeven door “projectie” op de plaatstoestand $〈 x |$ :

3.3

ψ (x) = 〈 x | ψ 〉 ψ^{*} (x) = 〈 ψ | x 〉

Hieruit volgt dat de bra $〈 ψ |$ de hermitisch geconjugeerde is van de ket $| ψ 〉$

3.4

〈 ψ | = {(| ψ 〉)}^{†}

Hermitisch conjugeren is de operatie van complex conjugeren gecombineerd met transpositie van een vector.

Met de eigenschap (3.4) kunnen een aantal belangrijk relaties bewezen worden. Deze relaties komen van pas bij formele berekeningen met toestandsvectoren.

3.5a

{(| u 〉)}^{†} = 〈 u | {(〈 u |)}^{†} = | u 〉

3.5b

{(〈 u | v 〉)}^{†} = {(〈 u | v 〉)}^{*} = 〈 v | u 〉

3.5c

{(α | u 〉 + β | v 〉)}^{†} = α^{*} 〈 u | + β^{*} 〈 v |

3.5d

(α 〈 u | + β 〈 v |) | w 〉 = α 〈 u | w 〉 + β 〈 v | w 〉

3.5e

〈 w | (α | u 〉 + β | v 〉) = α 〈 w | u 〉 + β 〈 w | v 〉