Synopsis Quantummechanica III

Compleetheidsrelatie

In de quantummechanica wordt aangenomen dat een willekeurige toestandsvector in de Hilbertruimte ontbonden kan worden in een compleet (volledig) orthonormaal stelsel van basisvectoren.
Orthonormaliteit voor een stelsel vectoren is de eigenschap $〈 u_{n} | u_{m} 〉 = δ_{n m}$ .

Gegeven het verband (3.3) kan de golffunctie $ψ (x)$ worden opgevat als een reeks coördinaten van de ket $| ψ 〉$ t.o.v. de basisvectoren $| x 〉$ . Net zoals in het geval van reële vectoren in een euclidische ruimte, kan $| ψ 〉$ gereconstrueerd worden door een sommatie (integratie) over alle basisvectoren:

3.6

| ψ 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x ψ (x) | x 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x 〈 x | ψ 〉 | x 〉

Deze formule is een voorbeeld van een compleetheidsrelatie van de quantummechanica.
Onder de aanname van compleetheid is de golffunctie $ψ (x)$ een fysisch equivalente representatie van de ket $| ψ 〉$ . De golffunctie $ψ (x)$ beschrijft de quantumtoestanden van een systeem in de zogenoemde plaatsrepresentatie.

Relatie (3.6) is geldig onder de veronderstelling dat de basisvectoren orthonormaal zijn

3.7

〈 x' | x 〉 = δ (x' - x)

Rechts staat de Dirac-deltafunctie met de eigenschap

3.8

\int d x f (x) δ (x - x') = f (x')

voor een willekeurige functie $f (x)$ .

Relatie (3.7) geeft aan dat de toestand $| x 〉$ correspondeert met een extreem gelokaliseerde golffunctie die overal nul is behalve op één positie $x$ .