Synopsis Quantummechanica III

Compleetheidsrelatie

Gegeven het verband (3.3) kan de golffunctie $ψ (x)$ worden opgevat als een reeks coördinaten van de ket $| ψ 〉$ t.o.v. de basisvectoren $| x 〉$ . Net zoals in het geval van reële vectoren in een euclidische ruimte, kan $| ψ 〉$ gereconstrueerd worden door een sommatie (integratie) over alle basisvectoren:

3.6

| ψ 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x ψ (x) | x 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x 〈 x | ψ 〉 | x 〉

Deze formule is een voorbeeld van een compleetheidsrelatie van de quantummechanica.
Onder de aanname van compleetheid is de golffunctie $ψ (x)$ een fysisch equivalente representatie van de ket $| ψ 〉$ . De golffunctie $ψ (x)$ beschrijft de quantumtoestanden van een systeem in de zogenoemde plaatsrepresentatie.

Relatie (3.6) is geldig onder de veronderstelling dat de basisvectoren orthonormaal zijn

3.7

〈 x' | x 〉 = δ (x' - x)

Rechts staat de Dirac-deltafunctie met de eigenschap

3.8

\int d x f (x) δ (x - x') = f (x')

voor een willekeurige functie $f (x)$ .

Relatie (3.7) geeft aan dat de toestand $| x 〉$ correspondeert met een extreem gelokaliseerde golffunctie die overal nul is behalve op één positie $x$ .