Synopsis Quantummechanica III

Hilbertruimte

  • Toestandsfuncties van quantumsystemen worden wiskundig beschreven door genormeerde vectoren in een (complexe) hilbertruimte.
  • Als twee vectoren in de hilbertruimte mogelijke toestanden representeren van een quantumsysteem, dan representeert een superpositie (lineaire combinatie) van deze vectoren ook een toestand waarin het systeem zich mogelijkerwijs kan bevinden.

Het inproduct (ook wel inwendig product of scalair product genoemd) tussen twee golffuncties u(x) en v(x) wordt gedefinieerd door de formule

3.1

〈u|v〉:= ∫ −∞ ∞ dx u * (x)v(x)

Volgens de wiskundige definitie is een inproduct:

3.2

  1. Lineair: 〈u| λv〉=λ〈u|v〉 〈 λu|v〉= λ * 〈u|v〉 en
    〈u| v+w〉=〈u|v〉+〈u|w〉 〈 u+w|v〉=〈u|v〉+〈w|v〉
  2. Hermitisch: 〈u|v〉= 〈v|u〉 *
  3. Positief definiet: ‖ v ‖ 2 =〈v|v〉>0 voor v≠0

Het inproduct (3.1) voldoet aan deze voorwaarden. I.h.b. geldt de normeringseis (iii) voor golffuncties. Alle toelaatbare golffuncties vormen samen een hilbertruimte, d.w.z. een verzameling van kwadratisch integreerbare functies waarvoor een inproduct is gedefinieerd en een eindige positieve norm.

  • Wiskundig gezien is een golffunctie een element van een hilbertruimte. Dit inzicht hebben we te danken aan Johann von Neumann (1926).

De hilbertruimte is een lineaire vectorruimte met als eigenschap dat een lineaire combinatie van golffuncties, bijvoorbeeld ψ(x)=αu(x)+βv(x) met reële of complexe constanten α,β, ook een mogelijke quantumtoestand beschrijft. Dit wordt het superpositieprincipe genoemd.

  • Het superpositieprincipe van quantumtoestanden is een essentieel fundament van de quantumtheorie waarin het waargenomen golfkarakter van quantumsystemen tot uitdrukking wordt gebracht.
  • Iedere normeerbare golffunctie u(x) kan vermenigvuldigd worden met een (complexe) constante zodanig dat de golffunctie ψ(x)=cu(x) genormeerd is op één: 〈ψ|ψ〉= | c | 2 〈u|u〉=1  en daarmee vastligt (afgezien van een constante fasefasefactor).