Synopsis Quantummechanica III

Commensurabele observabelen

  • Observabelen heten commensurabel als de geassocieerde operatoren met elkaar commuteren.
  • Commensurabele operatoren hebben gezamenlijke eigentoestanden.

Meestal zijn er meerdere observabelen van interesse afhankelijk van de vraag welk aspect van een systeem wordt bestudeerd. Maar in de quantummechanica zijn niet alle observabelen commensurabel met elkaar. Twee observabelen A en B heten commensurabel als de geassocieerde operatoren met elkaar commuteren

3.32

[ A ^ , B ^ ] := A ^ B ^ − B ^ A ^ =0

De uitdrukking links met de vierkante haakjes wordt de commutator genoemd. De commutator zelf is ook weer een operator. Twee belangrijke eigenschappen zijn:

3.33

[ A ^ , B ^ ] =− [ B ^ , A ^ ]

en, als de operatoren hermitisch zijn, is de commutator anti-Hermitisch

3.34

[ A ^ , B ^ ] † =− [ A ^ , B ^ ]
  • De belangrijke stelling is dat twee commensurabele observabelen gezamenlijke eigentoestanden | ψ nm 〉 kunnen hebben, dus eigentoestanden die zowel door de eigenwaarden a 1 , a 2 ,.. van de ene observabele als de eigenwaarden b 1 , b 2 ,.. van de andere gekarakteriseerd worden. Dit zijn toestanden waarin bij meting beide observabelen een welbepaalde waarde hebben.

Voor een gegeven quantumsysteem kunnen gewoonlijk een aantal complete sets van commensurabele observabelen geïdentificeerd worden, d.w.z. maximale deelverzamelingen van hermitische operatoren die onderling commuteren. De bijbehorende eigenwaarden leggen de simultane eigenfuncties volledig vast op een multiplicatieve constante na, Maar bij ieder van de deelverzamelingen zullen er altijd observabelen overblijven die niet commensurabel zijn.

Het is een essentiële eigenschap van de quantummechanica dat men niet vrij is willekeurige combinaties van observabelen te kiezen bij metingen aan een quantumsysteem. Bijvoorbeeld, de observabelen plaats en impuls zijn incommensurabel zoals uitgedrukt in de Heisenberg-onzekerheidsrelatie (1.24).

  • Algemeen geldt dat als observabelen incommensurabel zijn, hun meetonzekerheden niet tegelijk willekeurig klein kunnen zijn en dat ze elkaars meetuitkomsten verstoren omdat hun eigentoestanden disjunct zijn. Maar het is niet zo dat de meting van één van die observabelen de meting van andere observabelen uitsluit.