Synopsis Quantummechanica III

Tijdevolutie

Eerder hebben we al de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking (1.33) voor de golffunctie $ψ (x, t)$ besproken. In de Dirac-notatie krijgt deze vergelijking de vorm

3.35

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | ψ (t) 〉 = \hat{H} | ψ (t) 〉

Deze vergelijking beschrijft de tijdevolutie van een quantumsysteem gekarakteriseerd door de hamiltoniaan $\hat{H}$ . De hamiltoniaan is de hermitische operator geassocieerd met de totale energie $E = T + V$ van het systeem, zijnde de som van kinetische en potentiële energie.

De potentiële energie wordt gespecificeerd door de wisselwerking tussen de deeltjes in het systeem en de wisselwerking met de omgeving. Een quantumsysteem wordt daarom in essentie gedefinieerd door de hamiltoniaan.

Dit betekent niet dat er geen andere observabelen een rol kunnen spelen in de fysische beschrijving. Een bijzondere klasse vormen de observabelen van het systeem waarvoor een behoudswet geldt. Stel $Q$ is een observabele waarvan we de tijdevolutie willen bestuderen. We berekenen de tijdafgeleide van de verwachtingswaarde met de Schrödingervergelijking (3.35)

3.36

\frac{\partial}{\partial t} 〈 Q 〉 = \frac{\partial}{\partial t} 〈 ψ (t) | \hat{Q} | ψ (t) 〉 = \frac{i}{ℏ} 〈 ψ (t) | [\hat{H}, \hat{Q}] | ψ (t) 〉

Deze vergelijking, die de Heisenberg-Ehrenfest vergelijking heet, relateert het tijdgedrag van de verwachtingswaarde aan de commutator met de hamiltoniaan. We zien dat als deze commutator nul is, de observabele niet verandert in de tijd, d.w.z. behouden is.

Een fysische grootheid $Q$ is behouden als de geassocieerde operator $\hat{Q}$ commuteert met de hamiltoniaan $\hat{H}$ . Behouden observabelen zijn dus commensurabel met de energie.
Uit (2.35) volgt ook dat de norm $〈 ψ (t) | ψ (t) 〉$ van de toestandsvector behouden is onder tijdevolutie.