Synopsis Quantummechanica III

Impulsrepresentatie

De golffunctie $ψ (x)$ is slechts één van de mogelijke representaties van de toestandsfunctie $| ψ 〉$ . De impulsgolffunctie $\tilde{ψ} (p)$ gedefinieerd door de Fouriertransformatie (1.23ab) is een belangrijke andere representatie. In analogie met (3.3) wordt $\tilde{ψ} (p)$ geïnterpreteerd als de projectie op de impulsvector $〈 p |$ :

3.9

\tilde{ψ} (p) : = 〈 p | ψ 〉 {\tilde{ψ}}^{*} (p) : = 〈 ψ | p 〉

De toestanden $| p 〉$ zijn eigenvectoren van de impulsoperator

3.10

\hat{p} | p 〉 = p | p 〉

en vormen een complete verzameling basisvectoren. Een gegeven quantumtoestand kan dus ook ontbonden t.o.v. deze basis zoals gegeven door een compleetheidsrelatie analoog aan (3.6)

3.11

| ψ 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d p \tilde{ψ} (p) | p 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d p 〈 p | ψ 〉 | p 〉

De twee golffuncties $ψ$ en $\tilde{ψ}$ beschrijven dezelfde quantumtoestand . Uit formule (3.11) volgt het verband tussen $ψ (x)$ en $\tilde{ψ} (p)$ :

3.12

〈 x | ψ 〉 = ψ (x) = \int_{- \infty}^{\infty} d p 〈 x | p 〉 \tilde{ψ} (p)

Door vergelijking met de Fouriertransformatie (1.23ab) concluderen we

3.13

〈 x | p 〉 = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \exp (i p \cdot x / ℏ)

hetgeen de projectie is van de impuls-ket $| p 〉$ op de coördinaat-bra $〈 x |$ .