Synopsis Quantummechanica I

Eigenwaarden en eigenfuncties

  • In veel gevallen heeft de Schrödingervergelijking slechts oplossingen voor bepaalde discrete waarden van de energie, de zogenoemde eigenwaarden.
  • De quantisatie van de energie is de basis voor de verklaring van de discrete spectra van atomen en moleculen.

De Schrödingervergelijking (voor tijdonafhankelijke processen) kunnen we symbolisch schrijven in de vorm:

1.18

H ⌢ ψ(x)=Eψ(x)

1.19

H ⌢ :=− ℏ 2 2m ∂ 2 ∂ x 2 +V(x)
  • De operator (1.19) wordt in de quantummechanica de hamiltonoperator genoemd, of kortweg de hamiltoniaan, naar de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865).
  • Het symbool h-bar staat voor de gereduceerde constante van Planck ℏ=h/2π=1 ,0545 x 10 −34  J s , ook wel de constante van Dirac genoemd.

In het algemeen zal de Schrödingervergelijking niet voor iedere waarde van E een oplossing hebben die ook aan de randcondities voldoet. Denk aan een snaar die slechts op een bepaalde manier kan trillen.

  • Iedere waarde E 1 , E 2 , E 3 ,.. waarvoor de Schrödingervergelijking een oplossing heeft wordt een eigenwaarde genoemd. De bijbehorende golffuncties ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 ,... heten eigenfuncties.
  • Deze wiskundige eigenschap van de Schrödingervergelijking is de basis voor de verklaring van de discrete spectra van atomen en moleculen.