Synopsis Quantummechanica I

Impulsoperator

  • De impulsgolffunctie is de Fourier getransformeerde van de golffunctie afhankelijk van de plaats, en omgekeerd. Plaats en impuls van een deeltje worden geconjugeerde variabelen genoemd.
  • De plaats- en impulsrepresentaties zijn equivalent. In de plaatsrepresentatie heeft de fysische grootheid impuls een geassocieerde impulsoperator.

Een bijzondere oplossing van de eigenwaardevergelijking (1.12) is de harmonische functie

1.20

u(x)=Aexpik⋅x

met k een gegeven golfgetal en A een constante. Op grond van de de Broglie relatie (1.2) verwachten we dat deze golffunctie een deeltje met een scherpe impuls p=ℏk beschrijft. Deze golffunctie moet dan wel een eigenfunctie zijn van de impulsoperator:

1.21

p ⌢ u(x)=pu(x)
  • Hieraan is voldaan door de impulsoperator te definiëren als

1.22

p ⌢ := ℏ i ∂ ∂x
  • Deze identificatie speelt een belangrijke rol in het formalisme van de quantummechanica.

De eigenfunctie (1.20) is niet normeerbaar hetgeen correspondeert met het feit dat volgens de quantummechanica een deeltje met een scherp bepaalde impuls geen scherp bepaalde plaats kan hebben. Een gelokaliseerde golffunctie kan geconstrueerd worden door een superpositie van harmonische functies:

1.23a

ψ(x)= 1 2πℏ ∫ −∞ ∞ dp ψ ˜ (p)exp(ipx/ℏ)

1.23b

ψ ˜ (p)= 1 2πℏ ∫ −∞ ∞ dxψ(x)exp(−ipx/ℏ)
  • Hierin zijn de plaats- en impulsgolffuncties elkaars Fouriergetransformeerde. De argumenten x en p worden geconjugeerde variabelen genoemd.
  • Omdat de Fouriertransformatie inverteerbaar is, bevatten ψ(x) en ψ ˜ (p) dezelfde informatie over het systeem. Men zegt dat de plaats- en de impulsrepresentatie equivalent zijn.