Synopsis Quantummechanica I

Oploscondities

Niet elke wiskundige oplossing van de Schrödingervergelijking is fysisch acceptabel. De volgende eisen worden gesteld:

de golffunctie is continu.
de golffunctie is differentieerbaar overal waar $V (x)$ eindig is.
vanwege de interpretatie van ${| ψ (x) |}^{2}$ als waarschijnlijkheidsdichtheid moet de golffunctie voldoen aan de normering:

1.16

\int_{- \infty}^{\infty} {| ψ (x) |}^{2} d x = 1

de golffunctie gaat naar nul voor $x \to \pm \infty$ ; anders zou de normeringsintegraal niet bestaan.

Verder onderzoek van de Schrödinger vergelijking laat zien dat het teken van $\partial {}^{2}ψ / \partial x^{2}$ bepaald wordt door het teken van het product $[V (x) - E] ψ (x)$ ; immers, we kunnen schrijven:

1.17

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} = 2 m {(\frac{2 π}{h})}^{2} [V (x) - E] ψ (x)

Dit leidt tot:

oscillerend gedrag van $ψ (x)$ voor $E > V (x)$ ; in eenvoudige gevallen een sin of cos-functie.
monotoon toenemend of afnemend gedrag voor $E < V (x)$ ; in eenvoudige gevallen een e-macht.