Synopsis Quantummechanica II

Energieniveaus waterstofatoom

Ter vereenvoudiging van de berekening van de eigenfuncties en eigenwaarden van de Schrödingervergelijking (2.21) worden dimensieloze variabelen geïntroduceerd. We definiëren: $x = r / a_{0}$ en $n^{- 2} = - E / R_{y}$ , waarbij de parameter $n$ nu als een variabele wordt beschouwd. Aangezien $a_{0}^{2} \cdot R_{y} \cdot γ = 1$ , kunnen we de Schrödingervergelijking (2.21) transformeren in de dimensieloze vorm

2.23

(- \frac{d^{2}}{d x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{n^{2}}) ψ_{n} (x) = 0

Het is eenvoudig in te zien dat de vergelijking een oplossing heeft met het gewenste asymptotische gedrag $ψ_{n} (x) \sim \exp (- x / n) x \to \infty$ , mits $n$ positief.
Voor $x \to 0$ gedraagt de golffunctie zich als $ψ_{n} (x) \sim x$ .

Om het gedrag van de golffunctie verder te onderzoeken schrijven we de oplossing in de vorm

2.24

ψ_{n} (x) = y L_{n - 1} (y) e^{- y / 2} y : = 2 x / n

Na invullen van deze probeeroplossing in de Schrödingervergelijking (2.23) vinden we de volgende differentiaalvergelijking voor de onbekende functies $L_{n - 1} (y)$ :

2.25

[y \frac{d^{2}}{d y^{2}} + (2 - y) \frac{d}{d y} + (n - 1)] L_{n - 1} (y) = 0

De oplossingen van deze vergelijking staan in de wiskunde bekend als de gegeneraliseerd Laguerre polynomen $L_{n - 1}^{1} (y)$ en we identificeren $L_{n - 1} (y) : = L_{n - 1}^{1} (y)$ . De laagste oplossingen zijn:

2.26a

L_{0} (y) = 1

2.26b

L_{1} (y) = 2 (1 - \frac{1}{2} y)

2.26c

L_{2} (y) = 3 (1 - y + \frac{1}{6} y^{2})

Alleen voor positieve gehele getallen $n = 1,2,3,..$ heeft de Schrödingervergelijking (2.23) fysisch aanvaardbare oplossingen (d.w.z. oplossingen die zich goed gedragen bij $x = 0$ en voor $x \to \infty$ ). Daarmee is bewezen dat het energiespectrum van het waterstofatoom discreet moet zijn.