Synopsis Quantummechanica III

Evolutieoperator

Als we de tijdevolutie van een quantumtoestand definiëren door de actie van een operator

3.37

| ψ (t) 〉 : = \hat{U} (t) | ψ 〉

dan moet deze tijdevolutieoperator voldoen aan de volgende conditie opdat de norm van de toestandsvector behouden is (hetgeen equivalent is met behoud van waarschijnlijkheid):

3.38

{\hat{U}}^{†} (t) \hat{U} (t) = \hat{I}

Een lineaire operator die hieraan voldoet heet unitair. Producten van unitaire operatoren zijn eveneens unitaire operatoren.

Tijdevolutie in de quantummechanica correspondeert met een unitaire transformatie van de toestandsvector.

Door substitutie in (3.35) kan gecontroleerd worden dat de unitaire evolutieoperator gegeven door

3.39

\hat{U} (t) = \exp (- i \hat{H} t / ℏ)

een formele oplossing is van de Schrödingervergelijking (mits de hamiltoniaan niet afhangt van de tijd). De e-macht moet hier opgevat worden als een afkorting voor de reeksontwikkeling van de exponentiële functie.

In deze context wordt de hamiltoniaan de generator van de tijdevolutie genoemd.