Synopsis Quantummechanica III

Qubit

Een qubit kan gezien worden als de quantumversie van een bit, d.w.z. een binaire grootheid die slechts twee waarden kan aannemen. Maar in tegenstelling tot een bit kan een qubit in meerdere toestanden zijn als gevolg van het superpositieprincipe.

Een qubit is een quantum systeem in een 2-dim complexe Hilbertruimte opgespannen door twee basistoestanden $| k 〉, k = \pm 1$ . De basisvectoren zijn orthonormaal $〈 k | l 〉 = δ_{k l}$ .
De algemene toestand van een qubit is een genormeerde lineaire superpositie van de basisvectoren met complexe constanten

3.40

| ψ 〉 = α | 1 〉 + β | - 1 〉 {| α |}^{2} + {| β |}^{2} = 1

We kunnen de abstracte vector $| ψ 〉$ representeren door de “coördinaten” $〈 k | ψ 〉$ weer te geven als een kolomvector:

3.41

〈 k | ψ 〉 \Leftrightarrow (\begin{array}{l} α \\ β \end{array}) 〈 k | \pm 1 〉 \Leftrightarrow (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array})

In deze “coördinatenrepresentatie” definiëren we de volgende drie hermitische matrices:

3.42

σ_{x} : = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) σ_{y} : = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) σ_{z} : = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Dit zijn de Pauli-matrices vernoemd naar de natuurkundige Wolfgang Pauli (1900-1958).
Het spoor van ieder van deze matrices is nul en hun kwadraat is gelijk aan de eenheidsmatrix: $σ_{x}^{2} = σ_{y}^{2} = σ_{z}^{2} = I$ .

De corresponderende hermitische operatoren in de Hilbertruimte worden gedefinieerd door de matrixelementen: ${(σ_{x})}_{k l} = 〈 k | {\hat{σ}}_{x} | l 〉$ etc. Hiermee is de actie van deze operatoren op de basisvectoren vastgelegd:

3.43

{\hat{σ}}_{x} | \pm 1 〉 = | \mp 1 〉 {\hat{σ}}_{y} | \pm 1 〉 = \pm i | \mp 1 〉 {\hat{σ}}_{z} | \pm 1 〉 = \pm 1 | \pm 1 〉

De basisvectoren zijn eigentoestanden van de operator ${\hat{σ}}_{z}$ met reële eigenwaarden $\pm 1$ .

De eigenwaarden van de twee andere Pauli-matrices zijn ook $\pm 1$ , maar de eigenvectoren zijn lineaire superposities van de basisvectoren. We definiëren:

3.44

| \pm 〉 : = \frac{| + 1 〉 \pm | - 1 〉}{\sqrt{2}} | \pm i 〉 : = \frac{| + 1 〉 \pm i | - 1 〉}{\sqrt{2}}

Met de relaties (3.43) kan gecontroleerd worden dat de toestanden $| \pm 〉$ eigentoestanden zijn van de operator ${\hat{σ}}_{x}$ , en dat de toestanden $| \pm i 〉$ eigentoestanden zijn van ${\hat{σ}}_{y}$ .
De Pauli-matrices commuteren niet met elkaar en hebben daarom geen gemeenschappelijk eigenvectoren. De drie observabelen $σ_{x}, σ_{x}, σ_{z}$ zijn dus incommensurabel.