Synopsis Quantummechanica II

Harmonische eigenfuncties

  • De eigenfuncties van de 1-dimensionale harmonische oscillator kunnen worden uitgedrukt in de wiskundig bekende Hermite polynomen van graad n .
  • Alleen voor gehele getallen n=0,1,2,.. heeft de Schrödingervergelijking fysisch aanvaardbare oplossingen. 

Het vinden van de eigenwaarden en eigenfuncties uit de Schrödingervergelijking (2.14) wordt vereenvoudigd door de plaats-coördinaat te schalen met de karakteristieke debroglielengte λ 0 = ℏ/mω en de energie met de nulpuntsenergie: ε n = E n / E 0 . Na deze herdefinities van de plaats-coördinaat en de energie, en met de relaties: λ 0 2 ⋅ E 0 ⋅γ=1 en C⋅ λ 0 2 /2 E 0 =1 , krijgt de Schrödingervergelijking (2.14) de dimensieloze vorm

2.16

( − d 2 d x 2 + x 2 − ε n ) ψ n (x)=0

Het is eenvoudig na te gaan dat ψ 0 (x)=exp(− x 2 /2) een oplossing is met ε 0 =1 . Dit is de grondtoestand.

De hogere eigenfuncties worden gevonden door te schrijven

2.17

ψ n (x)= H n (x) e − x 2 /2

Dan reduceert de 1-dim Schrödingervergelijking tot de differentiaalvergelijking

2.18

[ d 2 d x 2 −2x d dx + ε n −1 ] H n (x)=0

Deze differentiaalvergelijking heeft, voor de waarden ε n −1=2n  , de uit de wiskunde bekende Hermite polynomen H n (x) van de graad n  als oplossing. De laagste oplossingen zijn:

2.19a

H 0 (x)=1

2.19b

H 1 (x)=2x

2.19c

H 2 (x)=4 x 2 −12x
  • Alleen voor gehele getallen ε n =2n+1 heeft de Schrödingervergelijking (2.16) fysisch aanvaardbare oplossingen (d.w.z. oplossingen die eindig blijven en naar nul gaan ver van de oorsprong). De figuur is getekend voor n=3 .
  • Daarmee is het spectrum (2.15) van de quantum harmonische oscillator met bijbehorende eigenfuncties (2.17) vastgelegd.