Synopsis Quantummechanica III

Operatoren

Alleen lineaire operatoren worden beschouwd. Dat zijn operatoren die een lineaire transformatie van toestanden in andere toestanden van de Hilbertruimte als resultaat hebben.
In de Dirac-notatie wordt de werking van een operator $\hat{A}$ op een toestandsfunctie $| ψ 〉$ als volgt aangegeven: $\hat{A} | ψ 〉 : = | \hat{A} ψ 〉$ .

Hierboven hebben we in (3.10) al de impulsoperator geïntroduceerd. Een andere belangrijke operator is de eenheidsoperator gedefinieerd door

3.14

\hat{I} | ψ 〉 = | ψ 〉

voor elke $| ψ 〉$ . De compleetheidsrelatie (3.6) kan gelezen worden als een sommatie over alle projecties van $| ψ 〉$ op de orthonormale basisvectoren $〈 x |$ voor willekeurige $| ψ 〉$ :

3.15

| ψ 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x | x 〉 〈 x | ψ 〉 = \hat{I} | ψ 〉

Daaruit vinden we voor de eenheidsoperator de vorm

3.16

\hat{I} = \int_{- \infty}^{\infty} d x | x 〉 〈 x |

in termen van de plaats-basisvectoren. Een gelijksoortig resultaat kunnen we afleiden voor iedere complete basis van orthonormale vectoren in de Hilbertruimte.

Met de eenheidsoperator kan de werking van een willekeurige lineaire operator gedefinieerd worden door de werking op een willekeurige complete basis, bijvoorbeeld de plaatsbasis

3.17

\hat{A} | ψ 〉 = \hat{A} \hat{I} | ψ 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x \hat{A} | x 〉 〈 x | ψ 〉

3.18

\hat{A} | x 〉 = \hat{I} \hat{A} | x 〉 = \int_{- \infty}^{\infty} d x' | x' 〉 〈 x' | \hat{A} | x 〉

De scalaire grootheid $〈 x' | \hat{A} | x 〉$ heet het matrix element van $\hat{A}$ in de plaatsbasis.
De verzameling van deze matrixelementen kan gezien worden als een (oneindigdimensionale) matrixrepresentatie van de operator $\hat{A}$ , net zoals de golffunctie $〈 x | ψ 〉$ gezien kan worden als een (oneindigdimensionale) vector in de Hilbertruimte.