Synopsis Quantummechanica III

Observabelen

  • Een meetbare fysische grootheid  (observabele) wordt gerepresenteerd door een hermitische operator in de Hilbertruimte, en omgekeerd.
  • De reële eigenwaarden van een hermitische operator zijn de mogelijke numerieke meetwaarden van de correspondeerde observabele.

Een meetbare fysische grootheid O van een quantumsysteem wordt in de quantummechanica een observabele genoemd. Iedere observabele correspondeert in het quantumformalisme met een hermitische operator

3.19

O ^ = O ^ †

3.20

( O ^ |ψ〉) † =〈ψ| O ^
  • Ook het omgekeerde geldt, iedere hermitische operator is in principe geassocieerd met een observabele. Daarom worden hermitische operatoren gewoonlijk ook observabelen genoemd.

Als een voorbeeld van een belangrijke observabele beschouwen we de energie E van een quantumsysteem. In de plaatsrepresentatie is de bijbehorende operator de hamiltoniaan (1.19) met eigenwaardevergelijking (1.18). We herschrijven deze vergelijking in Dirac-notatie als

3.21

∫ −∞ ∞ dx' 〈x| H ^ | x'〉〈 x'|ψ〉=E〈x|ψ〉

Hierin is H ^ de hermitische operator die in de plaatspresentatie correspondeert met de hamiltoniaan (1.19)

3.22

〈x| H ^ | x'〉= H ⌢ δ(x−x')=[ − ℏ 2 2m ∂ 2 ∂ x 2 +V(x) ]δ(x−x')

De nieuwe operator is de hamiltoniaan van het systeem in het Dirac-formalisme.

Stel de eigenwaardevergelijking (1.18) heeft eigenfuncties ψ 1 (x), ψ 2 (x), ψ 3 (x),... met eigenwaardespectrum E 1 , E 2 , E 3 ,.. . dan mogen we concluderen dat dit ook de eigenwaarden zijn van de eigenwaardevergelijking:

3.23

H ^ | ψ n 〉= E n | ψ n 〉

De eigenfuncties zijn de projecties ψ n (x)=〈x| ψ n 〉 van de eigentoestanden | ψ n 〉 op de plaatsbasis.

  • Het is eenvoudig te bewijzen uitgaande van (3.23) dat de eigenwaarden reële getallen zijn. Dit is een algemene regel voor operatoren die hermitisch zijn.
  • De eigentoestanden | ψ n 〉 zijn orthogonaal. Ook dit is een direct gevolg van de eigenschap van hermiticiteit. De eigenfuncties kunnen zo gekozen worden dat deze een orthonormaal stelsel vormen: 〈 ψ m | ψ n 〉= δ nm . 
  • Hieruit volgt dat de matrixelementen H mn =〈 ψ m | H ^ | ψ n 〉 een diagonaalmatrix vormen met diagonaalelementen H 11 = E 1 etc.