Synopsis Quantummechanica III

Waarschijnlijkheidsinterpretatie

In de quantummechanica worden de eigenwaarden van een hermitische operator geïnterpreteerd als de mogelijke numerieke uitkomsten van metingen aan de corresponderende fysische grootheid.

Als een quantumsysteem zich bevindt in een eigentoestand $| ψ_{n} 〉$ van een bepaalde hermitische operator, zeg $\hat{H}$ , dan is de uitkomst van een meting met zekerheid de corresponderende eigenwaarde $E_{n}$ .

De waarschijnlijkheid voor de uitkomst van metingen aan het systeem in een willekeurige quantumtoestand $| ψ 〉$ kan berekend worden door deze toestand te ontbinden in een lineaire combinatie van eigentoestanden van de beschouwde operator. Aangezien de verzameling van eigentoestanden van een hermitische operator een complete basis vormen, kunnen we de compleetheidsrelatie toepassen om te schrijven

3.24

| ψ 〉 = \sum_{n} | ψ_{n} 〉 〈 ψ_{n} | ψ 〉

In analogie met de Born interpretatie van de golffunctie (3.2) als een waarschijnlijkheidsamplitude, interpreteren we de projectie $〈 ψ_{n} | ψ 〉$ als de waarschijnlijkheidsamplitude voor het vinden van de meetwaarde $E_{n}$ .

Volgens de Born-regel wordt de kans om het systeem te vinden in de eigentoestand $| ψ_{n} 〉$ gegeven door

3.25

P (ψ_{n} | ψ) = {| 〈 ψ_{n} | ψ 〉 |}^{2}

Deze kans voorspelt de frequentie van meetuitkomsten bij herhaalde experimenten onder gelijke condities.

De som van de kansen (3.25) is inderdaad één zoals noodzakelijk voor een waarschijnlijkheidsinterpretatie. Dit kan eenvoudig worden afgeleid uit de normering van de toestand $| ψ 〉$ , gebruikmakend van het expansietheorema (3.24) en de orthonormaliteit van de eigenfuncties:

3.26

1 = 〈 ψ | ψ 〉 = \sum_{n} {| 〈 ψ_{n} | ψ 〉 |}^{2}

De Born-regel (3.25) is de cruciale link tussen het wiskundig formalisme van de quantumtheorie en de waargenomen werkelijkheid in laboratoria en de natuur. De quantumtheorie zelf heeft niet de pretentie die werkelijkheid in alle volledigheid te beschrijven; het is een wiskundig model dat fysici gebruiken om (met groot succes) de relatieve frequentie van meetresultaten te berekenen.