Synopsis Quantummechanica II

Quantum-tunneling

Als eenvoudig model, voor bijvoorbeeld een scanning tunneling microscoop (STM ), wordt een energie-barrière met hoogte $V = U_{0}$ en breedte $D$ beschouwd.

2.9

V (x) = {\begin{cases} 0 x < L \\ U_{0} L \leq x \leq L + D \\ 0 x > L + D \end{cases}

In het gebied links en het gebied rechts van de barrière kan een quantumdeeltje vrij bewegen met energie $E > 0$ . In die gebieden zijn de golffuncties $ψ_{1}, ψ_{3}$ lineaire combinaties van sin- en cos-functies:

2.10a

ψ_{1} (x) = A \sin k \cdot x + B \cos k \cdot x

2.10b

ψ_{3} (x) = G \sin k \cdot x + H \cos k \cdot x

met $k = \sqrt{γ E}$ . In de barrière geldt $E < U_{0}$ en is de oplossing een exponentiële functie

2.11

ψ_{2} (x) = F \exp (- κ \cdot x)

met $κ = \sqrt{γ (U_{0} - E})$ . De normeringsconstanten worden vastgelegd door de conditie dat de golffunctie en de afgeleide continu zijn op de randen.

De berekening heeft als conclusie dat de waarschijnlijkheid om het deeltje rechts van de potentiaalbarrière aan te treffen een eindige waarde heeft. De transmissiecoëfficiënt die de kans geeft dat een deeltje naar buiten tunnelt, wordt voor $κ \cdot D ≫ 1$ bij benadering gegeven door

2.12

T ≃ \frac{{| ψ_{2} (L + D) |}^{2}}{{| ψ_{2} (L) |}^{2}} = \exp - 2 κ \cdot D

Een hogere en bredere barrière betekent een (veel) kleinere kans.
In de figuur is de coördinaat $x$ geschaald met de lengte $x_{0} = \sqrt{1 / γ U_{0}}$ die een maat is voor de afstand waarover de golffunctie vervalt in de barrière; de relevante energieën zijn geschaald met de hoogte van de barrière $U_{0}$ .