Synopsis Quantummechanica III

Spin-half

Veel elementaire deeltjes, waaronder elektron, proton, neutron en quarks, hebben een intrinsiek quantummechanische eigenschap die spin wordt genoemd.
De genoemde deeltjes zijn spin-half deeltjes met spin-grootte $ℏ / 2$ en twee spintoestanden die conventioneel spin-up en spin-down worden genoemd. Voor het elektron werd dit in 1925 als hypothese voorgesteld door George Uhlenbeck en Samuel Goudsmit.

De twee spintoestanden van een spin-half deeltje kunnen worden beschreven door een vector in een 2-dim Hilbert ruimte identiek aan die van het qubit-model (zie vorige pagina). De spin-up en spin-down toestanden $| \pm 1 〉$ worden gedefinieerd als de eigentoestanden van de spin-operator in de z-richting met eigenwaarden $\pm ℏ / 2$ :

3.45

{\hat{S}}_{z} | \pm 1 〉 = \pm \frac{ℏ}{2} | \pm 1 〉 {\hat{S}}_{z} : = \frac{ℏ}{2} {\hat{σ}}_{z}

Analoog worden ook de spinoperatoren ${\hat{S}}_{x}$ , ${\hat{S}}_{y}$ en de 3-dim spinvector $\hat{S} : = (ℏ / 2) \hat{σ}$ gedefinieerd. De spinoperatoren zijn de Pauli-operatoren (3.43), afgezien van de constante $ℏ / 2$ .

In (3.45) zijn de basistoestanden gekozen met de z-as als voorkeursrichting. We beschouwen nu een willekeurige richting gegeven door de eenheidsvector $n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)$ en zoeken de eigentoestanden van de spinoperator ${\hat{S}}_{n} : = \overset{}{}$ $n \cdot \hat{S}$ met eigenwaarden $\pm ℏ / 2$ . Een algemene spintoestand is een lineaire combinatie van de basistoestanden zoals in (3.40) met parameters $α, β$ . In de “coördinaatrepresentatie” (3.41) wordt het op te lossen eigenwaarde-probleem voor spin-up en spin-down:

3.46

(\begin{matrix} n_{z} & n_{x} - i n_{y} \\ n_{x} + i n_{y} & - n_{z} \end{matrix}) (\begin{array}{l} α \\ β \end{array}) = \pm (\begin{array}{l} α \\ β \end{array})

met de normeringsconditie ${| α |}^{2} + {| β |}^{2} = 1$ . De oplossingen van (3.46) geven de gezochte eigentoestanden als:

3.47a

| θ, φ; + 1 〉 = \cos (\frac{1}{2} θ) | + 1 〉 + e^{i φ} \sin (\frac{1}{2} θ) | - 1 〉

3.47b

| θ, φ; - 1 〉 = \sin (\frac{1}{2} θ) | + 1 〉 - e^{i φ} \cos (\frac{1}{2} θ) | - 1 〉

Deze eigentoestanden zijn orthonormaal. In de x-richting $θ = π / 2, φ = 0$ zijn dit de eigentoestanden $| \pm 〉$ als gedefinieerd in (3.44), en in de y-richting $θ = φ = π / 2$ de eigentoestanden $| \pm i 〉$ .
Uit het feit dat de vergelijking (3.46) oplosbaar is, volgt dat bij iedere spinrichting een eigentoestand te vinden is. Ook het omgekeerde geldt: een willekeurige spintoestand is altijd een eigentoestand van de spinoperator in een zekere richting.

De formules (3.47ab) hebben belangrijke toepassingen in de quantummechanica. Hiermee kan bijvoorbeeld de kans berekend worden dat een deeltje geprepareerd in de up-toestand, bij meting gevonden wordt met spin ½ in een geroteerde richting; zie volgende pagina.