Synopsis Quantummechanica III

Stern-Gerlach-experimenten

  • In Stern-Gerlach-experimenten worden ruimtelijke deflecties gemeten van deeltjes die door een inhomogeen magnetisch veld worden gestuurd.
  • Zulke experimenten spelen een grote rol in quantummechanisch onderzoek, zowel experimenteel maar ook als “gedachte-experiment” in theoretische beschouwingen.

In een Stern-Gerlach-opstelling worden elektronen met spin-up naar boven afgebogen, en die met spin-down naar beneden. Boven/beneden is gedefinieerd t.o.v. de gradiënt van het magneetveld die traditioneel langs de verticale z-as wordt gekozen. Als vervolgens elektronen met spin-up door een tweede Stern-Gerlach-opstelling worden gestuurd, georiënteerd in dezelfde richting, dan is de uitkomst met zekerheid weer spin-up, en idem voor spin-down.

  • Deze waarnemingen leggen vast dat de spinoperator in de z-richting eigenwaarden ±1 moet hebben. (Voor het gemak laten we hier de constante ℏ/2 achterwege.) Ook geldt dat de spin-up en spin-down toestanden elkaar wederzijds uitsluiten en dus in het quantummechanische formalisme orthogonaal zijn.
  • Het is eenvoudig te bewijzen dat de Pauli-operator σ ^ z met de spin-up en spin-down eigentoestanden | ±1〉 de unieke representant is van de spin-observabele in de z-richting. Met een vergelijkbaar argument volgt dat de spin-observabelen in de x- en y-richting uniek gerepresenteerd worden door de Pauli-operatoren σ ^ x , σ ^ y .

We beschouwen nu een experiment waarin met een Stern-Gerlach-opstelling eerst spin-up deeltjes worden geselecteerd. Vervolgens worden met een tweede opstelling spinmetingen verricht in een geroteerde richting, zeg de x-richting. Het experimentele resultaat is dat men zowel deeltjes met spin-up als spin-down meet, gelijkelijk verdeeld.

Dit kan verklaard worden met de formules (3.47ab). Daarmee berekenen we de kans dat een deeltje geprepareerd in de up-toestand | +1〉, d.w.z. met spin-½ in de positieve z-richting, bij meting gevonden wordt met spin ½ in de geroteerde richting θ met φ=0 :

3.48a

P( θ;+1|+1)= | 〈 θ;+1| +1〉 | 2 = cos 2 ( 1 2 θ)

3.48b

P( θ;−1|+1)= | 〈 θ;−1| +1〉 | 2 = sin 2 ( 1 2 θ)
  • In de x-richting θ=π/2 voorspellen deze formules inderdaad gelijke kansen:

3.49

cos 2 ( 1 4 π)= sin 2 ( 1 4 π)= 1 2

Als we een groot aantal deeltjes prepareren in de spin-up toestand | +1〉 en vervolgens de spin meten in de geroteerde richting θ met φ=0 , dan is de verwachtingswaarde:

3.50

〈 σ n 〉= ∑ k=± k| 〈 θ;k| +1〉 | 2 = sin 2 ( 1 2 θ)− cos 2 ( 1 2 θ)=cosθ
  • Dit is ook het resultaat dat we zouden krijgen door projectie van de eenheidsvector (0,0,1) op de richting θ,φ=0 . Door een meting uit te voeren in de x-richting, wordt de eerder verrichte meting in de z-richting volledig te niet gedaan.
  • Het is onmogelijk tegelijk de niet-commuterende observabelen σ x en σ z scherp te meten. Dat voorspelt de theorie en dat wordt bevestigd door het experiment.