Synopsis Quantummechanica III

Twee-spin systeem

Een systeem van twee spin-half-deeltjes heeft een samengestelde spintoestand die als volgt wordt geconstrueerd. Elk van de samenstellende deeltjes heeft twee toestanden, spin-up en spin-down. Er zijn dus vier combinaties. Bijvoorbeeld, de combinatie van één spin-half-deeltje in de toestand $| + 1 〉$ en de ander in toestand $| - 1 〉$ . Dit schrijven we als de toestand $| + 1, - 1 〉$ .

De vier mogelijke combinaties vormen een 2x2-dim Hilbertruimte opgespannen door de basisvectoren $| k, l 〉, k, l = \pm 1$ .

Ieder van de vier basisvectoren is een eigentoestand van de spin-operator in de z-richting ${\hat{σ}}_{z}^{} : = {\hat{σ}}_{z}^{(1)} + {\hat{σ}}_{z}^{(2)}$ waarbij ${\hat{σ}}_{z}^{(1)}$ slechts werkt op de eigentoestanden van deeltje (1) en ${\hat{σ}}_{z}^{(2)}$ op die van deeltje (2):

3.51

{\hat{σ}}_{z}^{} | + 1, + 1 〉 = 2 | + 1, + 1 〉 {\hat{σ}}_{z}^{} | \pm 1, \mp 1 〉 = 0 {\hat{σ}}_{z}^{} | - 1, - 1 〉 = - 2 | - 1, - 1 〉

We concluderen dat twee spin-half-deeltjes kunnen combineren tot een systeem met totale spin 0 of totale spin 1, d.w.z. met $S_{z} = 0$ of $S_{z} = 2 \cdot ℏ / 2 = ℏ$ .

De algemene spintoestand in de 2x2-dim hilbertruimte schrijven we als

3.52

| ψ 〉 = \sum_{k, l} α_{k} β_{l} | k, l 〉

Het aantal reële vrije parameters dat de toestand (3.52) bepaalt is 4x2=8, minus de normeringsconditie $\sum {| α_{k} β_{l} |}^{2} = 1$ en een vrije fasefactor die niet van belang is. Dus uiteindelijk zes reële parameters.

Toestanden die het product zijn van twee willekeurige 1-deeltje spintoestanden $| ψ^{(1)} 〉 = \sum_{k} α_{k} | k 〉$ en $| ψ^{(2)} 〉 = \sum_{k} β_{k} | k 〉$ heten producttoestanden.

Producttoestanden zijn te schrijven als in (3.52) maar met twee normeringscondities ${\sum | α_{k} |}^{2} = {\sum | β_{k} |}^{2} = 1$ . Uit deze normeringscondities volgt dat de resulterende product-toestand ook genormeerd is.
Eén-deeltje spintoestanden worden gekarakteriseerd door twee reële parameters. Dus een producttoestand heeft vier vrije parameters, twee minder dan de algemene twee-deeltje spintoestand (3.52). Producttoestanden zijn een deelverzameling van alle mogelijke twee-deeltje spintoestanden.

Twee-deeltje spintoestanden die niet te schrijven zijn als een producttoestand heten verstrengeld. Bijzondere voorbeelden zijn de Bell-toestanden:

3.53a

| Φ^{\pm} 〉 : = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1, + 1 〉 \pm | - 1, - 1 〉)

3.53b

| Ψ^{\pm} 〉 : = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1, - 1 〉 \pm | - 1, + 1 〉)

Er zijn gradaties van verstrengeling. De Bell-toestanden zijn vier basisvectoren die maximaal verstrengeld zijn (John Stewart Bell, 1964).
Het bestaan van verstrengeling in de quantummechanica is een direct gevolg van het superpositieprincipe.