Synopsis Quantummechanica III

Verwachtingswaarde

Een quantumtoestand kan opgevat worden als te bestaan uit een lineaire combinatie van andere toestanden, zie (3.24), gewogen met (complexe) waarschijnlijkheidsamplitudes, niet met de reële kansen (3.25)! Die spelen een rol in de definitie van de verwachtingswaarde van een observabele, bijvoorbeeld de energie $E$ , in een quantumtoestand $| ψ 〉$

3.27

〈 E 〉 : = 〈 ψ | \hat{H} | ψ 〉

De uitwerking van het rechterlid is analoog aan die voor het bewijs van (3.26). Met behulp van de eigenwaardevergelijking (3.23) vinden we de verwachtingswaarde van de energie als

3.28

〈 E 〉 = \sum_{n} {| 〈 ψ_{n} | ψ 〉 |}^{2} E_{n}

We concluderen dat voor een systeem in toestand $| ψ 〉$ , een meting van de observabele $E$ de eigenwaarde $E_{n}$ levert met een waarschijnlijkheid $P (ψ_{n} | ψ)$ zoals gegeven door de Born-regel (3.25).

Bij de afleiding van (3.28) voor de verwachtingswaarde is gebruik gemaakt van de eigentoestanden van de beschouwde operator. We generaliseren naar een willekeurige orthonormale basis $| χ_{m} 〉$ en een willekeurige observabele:

3.29

〈 A 〉 = 〈 ψ | \hat{A} | ψ 〉 = \sum_{m} 〈 χ_{m} | ψ 〉 〈 ψ | \hat{A} | χ_{m} 〉 = Tr (\hat{ρ} \hat{A})

De notatie Tr staat voor het spoor (Engels: trace) zijnde de som over de diagonaalelementen van een matrix. De zogenoemde dichtheidsoperator (vaak ook dichtheidsmatrix genoemd) is gedefinieerd als de projectie op de toestand $| ψ 〉$ :

3.30

\hat{ρ} : = | ψ 〉 〈 ψ | Tr \hat{ρ} = 1

Deze hermitische operator bevat alle informatie over de toestand van het systeem en kan als een volwaardig alternatief voor de toestand $| ψ 〉$ gezien worden. Dit is aangetoond door John von Neumann in zijn alternatieve formulering van de quantummechanica (1927). De dichtheidsoperator speelt een centrale rol in de quantummechanica van veel-deeltjes systemen.