III. Quantumstatistische modellen

Bose-Einstein condensatie

De deeltjesdichtheid van een Bose-gas is gegeven in (2.18) als functie van $T$ en de fugaciteit $y$ . (Voor het gemak stellen we $g = 1$ .) Van bijzonder belang is het punt $n λ_{T}^{3} = g_{3 / 2} (1) = ζ (3 / 2) = 2,61..$ . Voor een gegeven dichtheid volgt hieruit een kritische temperatuur $T_{c}$ , en voor een gegeven temperatuur een kritische dichtheid $n_{c}$

3.1

T_{c} = : \frac{h^{2}}{2 π m} {(\frac{n}{ζ (3 / 2)})}^{2 / 3} n_{c} = : {(\frac{2 π m T}{h^{2}})}^{3 / 2} ζ (3 / 2)

Het gedrag van het Bose-gas beneden de Bose-temperatuur $T_{c}$ (of boven $n_{c}$ ) vereist een aparte discussie omdat uit (2.10) volgt dat de bezetting $〈 n_{0} 〉 = y / (1 - y)$ van de grondtoestand $ε_{0} = 0$ oneindig wordt voor $y \to 1$ . De bijdrage van het grondniveau aan de gemiddelde deeltjesdichtheid maken we expliciet door te schrijven

3.2

n (T, μ) = λ_{T}^{- 3} g_{3 / 2} (y) + \lim_{V \to \infty} \frac{〈 n_{0} 〉}{V}

De tweede term in het rechterlid is de gemiddelde deeltjesdichtheid $n_{0}$ van deeltjes in de grondtoestand. Voor $y < 1$ is deze term volstrekt verwaarloosbaar omdat de grondtoestand vrijwel onbezet is. Maar als $y ↑ 1$ groeit het aantal deeltjes in de grondtoestand tot een eindige fractie. Met de definitie van de Bose-temperatuur (3.1) laat zich (3.2) voor $y = 1$ dan schrijven als:

3.3

1 - \frac{n_{0}}{n} = \frac{ζ (3 / 2)}{n λ_{T}^{3}} = {(\frac{T}{T_{c}})}^{3 / 2}

Deze vergelijking toont dat voor $T < T_{c}$ een eindige fractie van de deeltjes zich in de laagste energietoestand bevindt. Dit is het verschijnsel dat Bose-Einstein condensatie wordt genoemd. Omdat de deeltjes geen wisselwerking met elkaar hebben is dit een puur quantummechanisch verschijnsel.
De deeltjes in de laagste energietoestand vormen het Bose-Einstein condensaat. Bij het absolute nulpunt hebben alle deeltjes zich opgehoopt in de grondtoestand.

Omdat de deeltjes in de grondtoestand niet bijdragen aan de energie van het Bose-gas, moet de energiedichtheid (2.19) beneden $T_{c}$ vermenigvuldigd worden met de fractie (3.3). Aangezien $y = 1$ geldt:

3.4

e (n, T) = \frac{3}{2} \frac{ζ (5 / 2)}{ζ (3 / 2)} n T {(\frac{T}{T_{c}})}^{3 / 2} ≃ 0,77 n T {(\frac{T}{T_{c}})}^{3 / 2}

Eenzelfde uitdrukking volgt voor de druk $P (n, T) = (2 / 3) e (n, T)$ . Voor lage temperatuur gedragen de energiedichtheid en de druk zich als $\sim T^{5 / 2}$ .

In een Bose-gas vindt bij de kritische temperatuur een faseovergang plaats waarbij de totale deeltjesdichtheid wordt opgesplitst in een normale - en een gecondenseerde fractie.
Het Bose-Einstein condensaat is pas in 1995 voor het eerst experimenteel waargenomen door Eric Cornell, Carl Wieman en Wolfgang Ketterle die daarvoor in 2001 de Nobelprijs ontvingen.