III. Quantumstatistische modellen

Stralingswet van Planck

De stralingswet van Planck geeft het energiespectrum van elektromagnetische straling in thermisch evenwicht als functie van de frequentie (of golflengte) en de temperatuur.
Het gemeten energiespectrum van de achtergrondstraling in het heelal volgt nauwkeurig de stralingswet van Planck met temperatuur $T / k_{B} = 2,73 K$ .

Volgens de quantummechanische theorie bestaat elektromagnetische straling uit massaloze fotonen met energie $ε = ℏ c k$ en impuls $p = ℏ k$ , met $k$ het golfgetal en $c$ lichtsnelheid. Omdat fotonen spin-één hebben en hun onderlinge wisselwerking volstrekt verwaarloosbaar is, vormen zij een ideaal Bose-gas met spin-ontaardingsfactor $g = 2$ . Er zijn echter twee nieuwe aspecten:

Evenwicht kan alleen tot stand komen als de fotonen zich bevinden in een medium dat zelf in evenwicht is, bijvoorbeeld het inwendige van een ster. De voortdurende emissie en absorptie van fotonen door de aanwezige materie betekent dat het aantal fotonen geen behouden grootheid is. Het is een Bose-gas, maar met chemische potentiaal $μ = 0$ .
De som over energietoestanden kan vervangen worden door een continue integraal in de $k$ -ruimte volgens het voorschrift (2.9). Het verband tussen $ε$ en $k$ is nu echter lineair: $ε = ℏ c k$ .

Het is gebruikelijk om de energiedichtheid van fotonen te schrijven als een functie van de foton-frequentie $ν = ε / h$ . Het aantal fotonen $n (ν) d ν$ in het energie interval $d ν$ is dan gegeven door:

3.5

〈 n (ν) 〉 d ν = \frac{8 π V}{c^{3}} \frac{ν^{2} d ν}{e^{β h ν} - 1}

Hieruit volgt door integratie de totale stralingsdichtheid (energiedichtheid) als functie van de temperatuur

3.6

e (T) = \int_{0}^{\infty} d ν ρ (T, ν)

met de spectrale stralingsdichtheid gedefinieerd als

3.7

ρ (T, ν) : = \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{β h ν} - 1}

De formule voor de spectrale stralingsdichtheid wordt de stralingswet van Planck genoemd (Max Planck, 1900). Een stralingsbron met dit spectrum heet een zwarte straler.
De kosmische achtergrondstraling is een spectaculaire bevestiging van de stralingswet van Planck. In 1965 vonden Arno Penzias en Robert Wilson met een radiotelescoop een achtergrond-signaal dat precies de Planckse vorm bleek te hebben met temperatuur $T / k_{B} = 2,73 K$ . Het bestaan van de achtergrondstraling wordt beschouwd als het belangrijkste bewijs voor de oerknal theorie.