Bose-gas

Men definieert voor een Bose-gas de gestandaardiseerde functies

Hier is $y : = \exp β μ$ de fugaciteit. De normeringsconstante $Γ (n)$ is de gammafunctie met de eigenschappen $Γ (n + 1) = n Γ (n)$ , $Γ (1) = 1$ , $Γ (1 / 2) = \sqrt{π}$ . Met deze normering gaat $g_{n} (y) \to y$ als $y \to 0$ . De integralen (2.17) kunnen niet analytisch berekend worden, maar zijn wel getabelleerd voor verschillenden waarden van $T, μ$ .

De functies $g_{n} (y)$ zijn begrensde, positieve, monotoon toenemende functies van $y$ in het interval $0 \leq y < 1$ . In het punt $y = 1$ is $g_{n} (1) = \sum 1 / l^{n} = ζ (n)$ gelijk aan de Riemann zèta-functie. Waarden die vaak voorkomen zijn: $ζ (2) = π^{2} / 6$ , $ζ (3) = 1,202$ , $ζ (4) = π^{4} / 90$ .
De functies $g_{n}$ moeten niet verward worden met de ontaardingsfactor $g = 2 s + 1$ voor spintoestanden, traditioneel ook aangegeven met de letter $g$ .

Met de functies (2.17) krijgen de deeltjesdichtheid (2.14) en de energiedichtheid (2.15) de eenvoudige vorm

Hierin is $λ_{T} : = h / \sqrt{2 π m T}$ de thermische debroglie-golflengte, d.w.z. de debroglie-golflengte van een deeltje met kinetische energie $π T$ .
Het quotiënt in (2.19) geeft de quantumcorrectie op de ideale gaswet ten gevolge van de Bose-Einstein statistiek.