II Quantumgassen

Thermische grootheden

Toepassing van het voorschrift (2.10) op de uitdrukking voor de thermodynamische potentiaal (2.4) levert met (1.29) de volgende uitdrukking voor de drukfunctie van een ideaal quantumgas:

2.13

β P (T, μ) = - η \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d ε ε^{1 / 2} \log [1 - η \exp β (μ - ε)]

De thermodynamische potentiaal blijkt inderdaad een extensieve thermodynamische grootheid te zijn. De corresponderende intensieve grootheid is volgens (1.29) te identificeren met de druk gedeeld door de temperatuur.

Uit de druk zijn andere thermodynamische grootheden te berekenen als functies van de temperatuur en de chemische potentiaal door gebruik te maken van de thermodynamische differentiaalrelaties (1.30). Voor de deeltjesdichtheid en energiedichtheid van een quantumgas in evenwicht vinden we zo:

2.14

n (T, μ) = \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d ε \frac{ε^{1 / 2}}{\exp β (ε - μ) - η}

2.15

e (T, μ) = \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d ε \frac{ε^{3 / 2}}{\exp β (ε - μ) - η}

Deze uitdrukkingen zijn ook direct af te leiden uit de BE/FD statistieken (2.5,6) via de definities $n = \sum_{i} 〈 n_{i} 〉 / V$ en $e = \sum_{i} ε_{i} 〈 n_{i} 〉 / V$ , en het voorschrift (2.10).

Na een partiële integratie volgt uit (2.13) het verband:

2.16

P (T, μ) = \frac{2}{3} e (T, μ)

De toestandsvergelijking (2.16) geldt voor alle (niet-relativistische) ideale gassen: Fermi en Bose, klassiek,
De constante van Planck verschijnt in de statistische uitdrukkingen hierboven als direct gevolg van de quantisatie van de energie. Dit fundamentele verband werd voor het eerst gelegd door Albert Einstein in zijn artikel over het foto-elektrisch effect (1905).