III. Quantumstatistische modellen

Fermi-gas

Uitdrukkingen voor gemiddelde deeltjesdichtheid $n = 〈 N / V 〉$ en energiedichtheid $e = 〈 E / V 〉$ van een Fermi-gas zijn gegeven in (2.14,15) (voor $η = - 1$ ) als functie van de temperatuur $T$ en de chemische potentiaal $μ$ . Analoog aan (2.17) definieert men voor een Fermi-gas de standaardfuncties:

2.20

f_{n} (y) : = \frac{y}{Γ (n)} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{n - 1} e^{- x}}{1 + y e^{- x}} = \sum_{l = 1}^{\infty} {(- 1)}^{l + 1} \frac{y^{l}}{l^{n}}

De reeksontwikkeling in het rechterlid convergeert voor alle $y > 0, n > 0$ . Het verband met (2.17) is $f_{n} (y) = - g_{n} (- y)$ .
De lage-temperatuur eigenschappen van Fermi-gassen worden vaak uitgedrukt in de standaardfuncties $F_{n} (x) : = f_{n + 1} (e^{x})$ . Deze functies staan bekend als de Fermi-Dirac integralen.

Met de vervanging $g_{n} \to f_{n}$ kunnen formules (2.18,19) voor de deeltjesdichtheid en de energiedichtheid worden overgenomen voor het Fermi-gas:

2.21

n (μ, T) = g λ_{T}^{- 3} f_{3 / 2} (y)

2.22

e (T, μ) = \frac{3}{2} g λ_{T}^{- 3} T f_{5 / 2} (y) = \frac{3}{2} n T \frac{f_{5 / 2} (y)}{f_{3 / 2} (y)}

De toestandsvergelijking (2.16) is geldig voor een quantum-gas, onafhankelijk van de statistiek en de spinfactor:

2.23

P (T, μ) = \frac{2}{3} e (T, μ) = n T \frac{f_{5 / 2} (y)}{f_{3 / 2} (y)}

Het quotiënt in (2.22,23) geeft de quantumcorrectie op de ideale gaswet ten gevolge van de Fermi-Dirac statistiek.