III. Quantumstatistische modellen

Relativistisch ontaard elektron-gas

Als een gas van elektronen wordt samengedrukt, neemt de Fermi-energie toe. Bij voldoende hoge druk kan deze vergelijkbaar worden met, of groter worden dan, de rustenergie $m c^{2} \sim 511 keV$ van de elektronen. Onder deze omstandigheid wordt de energie van de elektronen relativistisch

3.30

ε (k) = \sqrt{ℏ^{2} c^{2} k^{2} + m^{2} c^{4}}

Dit is ook het geval als de temperatuur van het gas hoog wordt ten opzichte van de rustenergie.

Met het voorschrift (2.12) wordt de deeltjesdichtheid van een elektron-gas ( $g = 2$ ) in de thermodynamische limiet gegeven door

3.31

n (T, μ) = \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\infty} d k k^{2} \frac{1}{\exp β (ε - μ) + 1}

Deze uitdrukking berust op de quantisatie van het golfgetal in een eindig volume, en geldt onafhankelijk van het verband tussen energie $ε$ en impuls $p = ℏ k$ .
Voor een relativistisch ontaard elektrongas vinden we hetzelfde verband als in (3.14):

3.32

n = \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{k_{F}} d k k^{2} = \frac{1}{3 π^{2}} k_{F}^{3} k_{F} = {(3 π^{2} n)}^{1 / 3}

Bij de berekening van de energiedichtheid beperken we ons tot een ontaard elektrongas in de ultra-relativistische limiet:

3.33

ε (k) = ℏ k c (1 + \frac{1}{2} \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2} k^{2}} + ...) ℏ k ≫ m c

Dan krijgen we eenvoudig

3.34

e_{0} = \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{k_{F}} d k k^{2} ε (k) = \frac{ℏ c}{4 π^{2}} (k_{F}^{4} + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}} k_{F}^{2})

Aangezien $k_{F} \sim n^{1 / 3}$ blijkt de energiedichtheid van een extreem relativistisch ontaard elektron-gas evenredig te zijn met $\sim n^{4 / 3}$ . Voor een niet-relativistisch gas is de macht $5 / 3$ .