III. Quantumstatistische modellen

Ontaard elektron-gas

  • De vrije geleidingselektronen in een metaal kunnen in goede benadering behandeld worden als een ontaard Fermi-gas.
  • Voor lage temperaturen is de soortelijke warmte van een ideaal elektron-gas bijzonder klein in vergelijking met de klassieke waarde.

We beschouwen een ontaard elektron-gas, d.w.z. een Fermi gas met g=2 en temperatuur T≪ ε F . Een dergelijke temperatuur wordt beschouwd als “laag” voor een systeem van fermionen. Maar dat bekent niet dat deze temperatuur noodzakelijkerwijs ook laag is t.o.v. kamertemperatuur.

  • Voor geleidingselektronen in een enkelvoudig metaal zoals Na is ε F ∼10 eV ofwel ε F / k B ∼ 10 4  K . Op grond hiervan kan het model van vrije elektronen in een metaal in goede benadering behandeld worden als een ontaard Fermi-gas.

Met de Sommerfeld expansie (3.16) is de lage-temperatuur limiet van de energiedichtheid (2.22) en de druk (2.23) te berekenen:

3.20

P= P 0 ( μ ε F ) 5/2 [ 1+ 5 π 2 8 ( βμ ) −2 +... ]

De voorfactor volgt eenvoudig uit het feit dat de eerste term uit de expansie van f 5/2 , met ε F in plaats van μ , de nulpuntsdruk (3.15) moet leveren. Als we nu nog de gevonden waarde (3.19) voor μ substitueren, krijgen we met de toestandsvergelijking (2.16) de energiedichtheid

3.21

e(T,n)= 3 2 P(T,n)= 3 5 n ε F [ 1+ 5 π 2 12 ( T ε F ) 2 +... ]

Tenslotte berekenen we de soortelijke warmte door de energie per deeltje te differentiëren naar de temperatuur T :

3.22

c V = ( 1 n ∂e ∂T ) n = 1 2 π 2 T ε F
  • Voor lage temperaturen is de soortelijke warmte van een ideaal Fermi-gas bijzonder klein in vergelijking met de klassieke waarde 3/2 . De reden is dat slechts een fractie van de elektronen in energietoestanden zit van waaruit ze naar hogere lege toestanden geëxciteerd kunnen worden.