III. Quantumstatistische modellen

Witte Dwerg

Een ster zoals de zon blijft in stand doordat de aantrekkende zwaartekracht in balans is met de thermische druk van de nucleaire processen in de kern. Uiteindelijk raakt de nucleaire brandstof op en wordt de ster een quantumgas van ionen en elektronen. De totale energie van de ster is dan de som van de kinetische energie $E_{kin}$ van de elektronen (de kinetische energie van de ionen is verwaarloosbaar) en de zwaartekrachtenergie

3.23

E_{grav} : = - G \int \frac{M (r) d M (r)}{r}

Hierin is $G$ de zwaartekrachtconstante. Als simpel model voor een ster nemen we $M (r) = ρ (4 π / 3) r^{3}$ met uniforme massadichtheid $ρ$ . Een korte berekening geeft dan voor een ster met straal $R$

3.24

E_{grav} = - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R}

Omdat de thermische debroglie-golflengte van de elektronen veel groter is dan die van de ionen, raakt het elektrongas als eerste ontaard als $T \to 0$ . We kennen uit (3.21) de nulpunts-energiedichtheid $e_{0} = (3 / 5) n ε_{F}$ van ontaarde elektronen. Daaruit volgt de kinetische energie:

3.25

E_{kin} = e_{0} V = \frac{3}{5} N ε_{F} = \frac{3}{5} N \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2})}^{2 / 3} n^{2 / 3}

Vergelijkingen (3.23,25) geven samen de totale energie:

3.26

E = E_{kin} + E_{grav} = a \frac{M^{5 / 3}}{R^{2}} - b \frac{M^{2}}{R}

De twee numerieke constanten hierin zijn:

3.27

a : = \frac{3}{80} {(9 π)}^{2 / 3} \frac{ℏ^{2}}{m} \frac{1}{m_{p}^{5 / 3}} b : = \frac{3}{5} G

Aangenomen is dat in de ster de aantallen protonen, neutronen en elektronen ongeveer gelijk zijn. Dan is $M = 2 N m_{p}$ , met $m_{p} = 1,67 \cdot 10^{- 27} kg$ de protonmassa, een goede benadering voor de stermassa.

Voor een gegeven massa wordt de evenwichtstoestand bereikt bij de straal die de totale energie (3.26) minimaliseert:

3.28

R_{\min} = \frac{2 a}{b} \frac{1}{M^{1 / 3}} = \frac{{(9 π)}^{2 / 3}}{8} \frac{ℏ^{2}}{m} \frac{1}{G m_{p}^{5 / 3}} \frac{1}{M^{1 / 3}}

Met $R_{⊙} = 7 \cdot 10^{5} km$ de straal en $M_{⊙} = 2 \cdot 10^{30} kg$ de massa van de zon kan het resultaat (3.28) geschreven worden in de overzichtelijke vorm

3.29

\frac{R_{min}}{R_{⊙}} = 0,010 {(\frac{M_{⊙}}{M})}^{1 / 3}

De meeste witte dwergen hebben een massa zoals de zon en een straal ongeveer gelijk aan die van de aarde $\sim 7000 km$ . Dit betekent dat een witte dwerg een massadichtheid heeft van meer dan een miljoen maal die van de zon. Dit vertaalt zich in een Fermi-energie $ε_{F} \sim 450 keV$ en een Fermi-temperatuur $ε_{F} / k_{B} \sim 10^{9} K$ .
De Fermi-temperatuur is veel hoger dan de gemeten temperatuur $\sim 10^{7} K$ van een typische witte dwerg. Het elektrongas van een witte dwerg is dus inderdaad volledig ontaard.