III. Quantumstatistische modellen

Uitbreiding van Sommerfeld

De uitdrukkingen (3.13,15) voor de deeltjesdichtheid en de druk zijn gebaseerd op de Fermi-Dirac statistiek bij $T = 0$ . Deze uitdrukkingen mogen beschouwd worden als de eerste termen in een expansie van de functies (2.20) naar de kleine parameter $T / ε_{F}$ . De opvolgende termen kunnen berekend worden met de volgende asymptotische reeksontwikkeling van de functies $f_{n} (y)$ voor grote waarden van $β μ = \log y$ :

3.16

f_{n} (y) = \frac{{(β μ)}^{n}}{Γ (n + 1)} [1 + \frac{π^{2}}{6} \frac{n (n - 1)}{{(β μ)}^{2}} + \frac{7 π^{4}}{360} \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{{(β μ)}^{4}} + ...]

Deze asymptotische reeksontwikkeling wordt de uitbreiding van Sommerfeld genoemd (Arnold Sommerfeld, 1928). De uitgeschreven termen geven een goede benadering voor $β μ > 3$ .

Toegepast op de deeltjesdichtheid (2.21) van een elektrongas ( $g = 2$ ) vinden we

3.17

n = \frac{8 π}{3} {(\frac{2 m μ}{h^{2}})}^{3 / 2} [1 + \frac{π^{2}}{8} {(β μ)}^{- 2} + ...]

en daaruit de benadering voor de Fermi-energie:

3.18

ε_{F} = μ [1 + \frac{π^{2}}{12} {(β μ)}^{- 2} + ...]

Oplossen door iteratie geeft voor de chemische potentiaal

3.19

μ = ε_{F} [1 - \frac{π^{2}}{12} {(\frac{T}{ε_{F}})}^{2} + ...]

Uit deze relatie blijkt dat voor $T ≪ ε_{F}$ de chemische potentiaal slechts weinig verschilt van de Fermi-energie.