II Quantumgassen

Entropie

  • De entropie een quantumgas kan geschreven worden als een functionaal van de Bose-Einstein-verdeling in het geval van bosonen en de Fermi-Dirac verdeling in het geval van fermionen.
  • Voor een klassiek gas reduceert de entropie-functionaal tot de Boltzmann-formule voor de entropie van een ideaal gas.

De entropie van een ideaal quantumgas in evenwicht kan op verschillende manieren berekend worden. Vanuit de thermodynamische Euler-relatie (1.22), met de thermodynamische potentiaal als gegeven in (2.4), vinden we:

2.7

S=− ∑ i [ (βμ−β ε i )〈 n i 〉+ηlog( 1−ηexp(βμ−β ε i ) ) ]

Hier is 〈 n i 〉 de BE-verdeling (2.5) of de FD-verdeling (2.6) afhankelijk van η=1 of η=−1 . Met de identiteit

2.8

log 〈 n i 〉 1+η〈 n i 〉 =βμ−β ε i

brengen we de entropie in de vorm

2.9

S=− ∑ i [ 〈 n i 〉log〈 n i 〉−η(1+η〈 n i 〉)log(1+η〈 n i 〉) ]

De eerste term vindt men ook voor een klassiek gas (Ludwig Boltzmann, 1872). Voor fermionen kan men de tweede term opvatten als de entropie van de gaten d.w.z. de niet-bezette toestanden. Voor bosonen is de interpretatie minder duidelijk.

  • De entropie als geschreven in formule (2.9) kan opgevat worden als een functionaal S[ 〈 n i 〉 ] .
  • Het idee om de evenwichtsverdeling 〈 n i 〉 te veralgemeniseren naar een distributiefunctie f i (t,x) afhankelijk van tijd en plaats, is de basis van de kinetische theorie van Ludwig Boltzmann (1872) voor de beschrijving van niet-evenwichtsverschijnselen in gassen.