II Quantumgassen

Thermodynamische limiet

De sommatie in formules als (2.4) gaat over alle energie-eigentoestanden van een quantumdeeltje in een macroscopisch volume $V$ . Omdat in een dergelijk groot volume de 1-deeltje eigentoestanden zeer dicht bij elkaar liggen kan de sommatie in de thermodynamische limiet $V \to \infty$ worden vervangen door een integratie:

2.10

\lim_{V \to \infty} \frac{1}{V} \sum_{i} f (ε_{i}) = \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d ε ε^{1 / 2} f (ε)

Deze regel geldt voor willekeurige $f (ε)$ , mits $V^{- 1} f (ε_{i}) \to 0$ voor $V \to \infty$ .
De factor $g = 2 s + 1$ is de ontaardingsgraad van elk 1-deeltjes-niveau voor deeltjes met spin $s$ . Er geldt $g = 2$ voor elektronen, en ook voor fotonen aangezien die twee polarisatierichtingen hebben.

Voor het bewijs grijpen we terug op het model van een deeltje-in-een-doos dat we hier uitbreiden naar een 3-dim doos met ribben $L$ . De energietoestanden worden gegeven door

2.11

ε_{i} = ε (k_{x}, k_{y}, k_{z}) = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2})

De quantisatieconditie is $k_{x} L = π \cdot n$ met $n = 1,2,3,...$ en idem voor $k_{y}, k_{z}$ . Voor een macroscopisch grote doos gaat de afstand $π / L$ tussen twee toestanden naar nul als $L \to \infty$ . In die limiet kan de som over toestanden vervangen worden door de continue integraal in de $k$ -ruimte:

2.12

\lim_{V \to \infty} \frac{1}{V} \sum_{i} = g \int_{0}^{\infty} \frac{d^{3} k}{π^{3}} = g \int_{0}^{\infty} \frac{d k}{2 π^{2}} k^{2}

Omdat de $k$ -variabelen positief zijn levert de hoekintegratie in de tweede stap een factor $π / 2$ . Overgaan op de integratie variabele $ε = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ geeft het sommatie-naar-integratie voorschrift (2.7).

Het voorschrift (2.12) berust op de quantisatie van het golfgetal in een eindig volume en is onafhankelijk van het verband tussen energie en impuls. Het voorschrift (2.10) daarentegen, is alleen geldig voor deeltjes met het non-relativistische verband $ε = p^{2} / 2 m$ tussen energie en impuls. Voor de relativistische generalisatie, zie relativistisch elektron-gas.